Điểm từng bài được giữ đúng theo nhãn in trong tài liệu nguồn; không ngụ ý tự động chấm lời chứng minh.
Thời lượng luyện tập cả năm là 540 phút, bằng tổng hai ngày thi, mỗi ngày 270 phút theo tài liệu nguồn.
Với số nguyên dương $k$, tập hợp $S$ gồm các số nguyên dương được gọi là tập hợp $k$-Olympic nếu thỏa mãn đồng thời:
(i) $S\ne\varnothing$;
(ii) với mọi $n\in S$, mọi ước nguyên dương của $(25^n-3^n)k^n$ cũng thuộc $S$.
Tìm tất cả các số nguyên dương $k$ sao cho có duy nhất một tập $k$-Olympic như vậy.
Cho $n$ nguyên dương và trong một quốc gia có $8n+3$ sân bay. Với hai sân bay thì giữa chúng sẽ có đường bay trực tiếp hoặc không. Biết rằng nếu giữa hai sân bay không có đường bay trực tiếp thì số lượng đường bay trực tiếp của hai sân bay đó chênh lệch nhau đúng bằng $2$. Xác định số đường bay trực tiếp ít nhất.
Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân có các đường cao $AD,BE,CF$. Từ đỉnh $A$, kẻ các hình chiếu vuông góc xuống các đường thẳng $EF,FD,DE$, ký hiệu là $X,Y,Z$. Cho đường thẳng $BZ$ cắt lại $(BDY)$ ở $P$, cho $CY$ cắt lại $(CDZ)$ ở $Q$. Chứng minh rằng điểm $X$ có cùng phương tích đến hai đường tròn $(YFP),(ZEQ)$.
Cho tam giác $ABC$ có $O$ là trung điểm $BC$. Kẻ các tiếp tuyến $AE,AF$ của đường tròn $(O)$ đường kính $BC$, trong đó $E,F\in(O)$. Các tia $AE,AF$ cắt $BC$ theo thứ tự ở các điểm $K,L$. Cho $KF,LE$ cắt $(O)$ lần lượt ở các điểm $M,N$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $MON$ cắt lại các đường tròn đường kính $AB,AC$ theo thứ tự ở $X,Y$. Chứng minh rằng $\angle XAB=\angle YAC$.
Cho các số nguyên dương $k,n$ và $k\lt n$. Tìm tất cả các đa thức hệ số thực $P$ bậc $kn$, có hệ số bậc cao nhất bằng $1$ và thỏa mãn đa thức
$$Q(x)=P(x^n+1)-(P(x))^n$$
có bậc không quá $kn(n-1)$.
Gọi $\mathcal H$ là họ các tập con khác rỗng của tập hợp $\{1,2,3,\ldots,2027\}$ và có tính chất sau: với mọi tập hợp $A\in\mathcal H$ và với mọi tập con $B\subset A$, ta đều có $B\in\mathcal H$. Gọi $\ell_{\mathcal H},c_{\mathcal H}$ lần lượt là số tập con trong $\mathcal H$ mà có chẵn phần tử, có lẻ phần tử. Chứng minh rằng
$$\ell_{\mathcal H}-c_{\mathcal H}\le\binom{2026}{1013}.$$
Với mỗi số nguyên dương $n$, xét đa thức $P_n(x)=x^{3n}-3\cdot4^{n-1}x^n-2^{3n-3}$.
(a) Chứng minh $P_n(x)$ có đúng một nghiệm thực dương, kí hiệu là $a_n$.
(b) Đặt $b_n=\dfrac{2-a_n}{n}$ và $c_n=b_1+b_2+\cdots+b_n$. Chứng minh dãy số $(c_n)_{n=1}^{\infty}$ có giới hạn hữu hạn.
Để khám phá không gian, các nhà khoa học thường phải quan sát những vật thể xa xôi như sao chổi, tiểu hành tinh và các hiện tượng thiên văn khác. Nhằm mục đích đó, các nhà khoa học thiết kế và phóng các vệ tinh quan sát lên quỹ đạo quanh Trái Đất. Hầu hết các vệ tinh không chuyển động theo vòng tròn hoàn hảo mà có quỹ đạo là một đường elip, với Trái Đất nằm ở một trong hai tiêu điểm của elip. Khi một vệ tinh chuyển động trên quỹ đạo elip, khoảng cách giữa nó và vật thể cần quan sát liên tục thay đổi. Thông thường, nếu khoảng cách từ vệ tinh đến vật thể cần quan sát là ngắn nhất thì các thiết bị cảm biến trên vệ tinh sẽ nhận được tín hiệu tốt nhất.
Cho một vệ tinh (được xem như là một chất điểm) chuyển động xung quanh Trái Đất theo quỹ đạo là một đường elip. Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục $Ox,Oy,Oz$ đều bằng $6400$ km), giả sử vệ tinh chuyển động trên mặt phẳng tọa độ $(Oxy)$ theo quỹ đạo có phương trình là $x^2+3y^2=17$. Vệ tinh cần quan sát một vật thể (cũng được xem như là một chất điểm) chuyển động trong không gian. Theo các kết quả nghiên cứu, khi vật thể chuyển động đến vị trí $A(2;16/\sqrt3;8)$ thì việc quan sát vật thể đó là tốt nhất. Hãy xác định tọa độ điểm $C$ (trên quỹ đạo elip của vệ tinh trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ nói trên) sao cho khoảng cách từ vị trí $C$ đến vị trí $A$ là ngắn nhất.
Cho $n,a,b$ là các số nguyên dương thỏa mãn $1\lt n^2\lt a\lt b\lt n^2+n+3$. Tìm tất cả các ước nguyên dương thuộc khoảng $(n^2;n^2+n+3)$ của tích $ab$.
Bạn An chơi trò chơi ghi lên bảng các bộ ba số theo thứ tự từ trái sang phải. Ban đầu trên bảng ghi sẵn bộ ba số $(1,1,1)$. Ở mỗi lượt chơi, An thực hiện một trong hai thao tác sau với bộ ba số $(x,y,z)$ hiện có:
(i) Xóa bộ ba số $(x,y,z)$ và viết lên bảng bộ ba số $(y,z,x+z)$.
(ii) Xóa bộ ba số $(x,y,z)$ và viết lên bảng bộ ba số $(x+z+1,x+y+z+1,x+y+2z+1)$.
(a) Chứng minh An cần đúng $4$ lượt chơi để viết lên bảng bộ ba số $(a,b,6)$.
(b) Tìm số tự nhiên $k$ nhỏ nhất sao cho tồn tại một cách chơi để sau $k$ lượt, An có thể viết lên bảng bộ ba số $(c,d,129)$.
Cho tam giác nhọn $ABC$ ($AB\lt AC$) nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $E,F$ lần lượt là các điểm đối xứng của $A$ qua $B,C$. Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$. Trên đường thẳng $AM$ lần lượt lấy các điểm $I$ và $P$ sao cho tam giác $AIE$ cân tại $I$ và tam giác $APF$ cân tại $P$. Gọi $T$ là giao điểm của hai đường thẳng $IE$ và $PF$.
(a) Chứng minh $T$ thuộc đường tròn $(O)$.
(b) Gọi $D$ là giao điểm của hai đường thẳng $BI$ và $CP$. Gọi $J$ là giao điểm của hai đường thẳng $TD$ và $IP$. Gọi $X$ là giao điểm của hai đường thẳng $OT$ và $BC$. Các đường thẳng $AT,AX$ lần lượt cắt $EF$ tại các điểm $L,U$. Chứng minh bốn đường tròn ngoại tiếp của các tam giác $TAJ,TIP,TEF,TLU$ cùng đi qua một điểm chung thứ hai khác $T$.
(a) Tìm số nghiệm thực dương phân biệt của đa thức $Q(x)=x^3-5x^2+4x-1$.
(b) Giả sử $a,b,c,d$ là các số nguyên sao cho đa thức $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ có $3$ nghiệm thực dương phân biệt và không có nghiệm hữu tỷ. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=|a|+|b|+|c|+|d|$.
Trong một trò chơi, nhân vật Mario cần di chuyển về phía trước bằng các lần nhảy xa với độ dài mỗi lần là $1$ mét hoặc $a$ mét hoặc $b$ mét, trong đó $a$ và $b$ là các số nguyên dương thỏa mãn $1\lt a\lt b$. Cho trước một chặng đường cần di chuyển có độ dài là $m$ mét, với $m$ là một số nguyên dương, Mario luôn sử dụng chiến thuật nhảy về phía trước như sau: trước tiên Mario sẽ thực hiện các lần nhảy với độ dài mỗi lần $b$ mét (với số lần tối đa có thể sao cho chưa vượt quá đích); nếu vẫn chưa tới đích, Mario sẽ thực hiện tiếp các lần nhảy với độ dài mỗi lần $a$ mét (với số lần nhảy tối đa sao cho chưa vượt quá đích), rồi cuối cùng là chuyển sang các lần nhảy với mỗi bước nhảy là $1$ mét. Mario sẽ thắng nếu không tồn tại cách di chuyển nào đến đích có số lần nhảy ít hơn so với chiến thuật trên. Trong trường hợp ngược lại, Mario sẽ thua.
(a) Hãy chỉ ra rằng với $(a,b)=(6,14)$, tồn tại một số $m$ để Mario thua trong trò chơi này.
(b) Tìm số lượng tất cả các cặp $(a,b)$, với $1\lt a\lt b\le100$, để Mario luôn thắng theo chiến thuật nói trên với mọi số nguyên dương $m$.
Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân có trực tâm $H$. Gọi $D,E,F$ lần lượt là các điểm đối xứng với $H$ qua $BC,CA,AB$, và gọi $A^{\prime},B^{\prime},C^{\prime}$ lần lượt là các điểm đối xứng với $A,B,C$ cũng qua $BC,CA,AB$. Gọi $S$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ và $H^{\prime}$ là trực tâm tam giác $DEF$. Gọi $J$ là tâm đường tròn đi qua ba hình chiếu của $H$ lên các đường thẳng $B^{\prime} C^{\prime},C^{\prime} A^{\prime},A^{\prime} B^{\prime}$. Chứng minh rằng $HJ\parallel H^{\prime} S$.
Trong một chương trình Trại hè về Toán ứng dụng, có tổng cộng $8m+1$ bạn nam (với $m>5$) và một số bạn nữ. Biết rằng mỗi bạn nữ quen đúng $3$ bạn nam và $2$ bạn nam tùy ý quen chung đúng $1$ bạn nữ. Gọi $n$ là số lớn nhất các bạn nữ có thể chọn trong trại hè mà mỗi bạn nam quen không quá $1$ bạn nữ. Chứng minh rằng $n\ge2m+1$.
Cho bảng ô vuông $n\times n$ có các hàng và cột được đánh số từ $1$ đến $n$, còn ô vuông ở hàng $i$, cột $j$ ký hiệu là ô $(i,j)$. Một tập con $A$ các ô vuông của bảng là “tốt” nếu xét hai ô tùy ý $(x_1,y),(x_2,y)$ thuộc $A$ thì các ô $(u,v)$ mà
$$x_1\lt u\le x_2,\quad v\lt y,$$
hoặc
$$x_1\le u\lt x_2,\quad v>y,$$
đều không thuộc $A$. Tìm số tập con tốt nhỏ nhất đôi một rời nhau để mỗi ô của bảng đều thuộc đúng một tập con.
Xét đa thức $P(x)=x^4-x^3+x$.
a) Chứng minh rằng với mọi số dương $a$, đa thức $P(x)-a$ có duy nhất một nghiệm dương.
b) Xét dãy $(a_n)$ xác định bởi $a_1=1/3$ và, với mọi $n\ge1$, $a_{n+1}$ là nghiệm dương của $P(x)-a_n$. Chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.