Ngân hàng câu hỏi VMO 1983

Cho $a$ và $b$ là hai số nguyên dương, $b\gt 2$. Số $2^a+1$ chia hết cho số $2^b-1$ hay không?

(a) Chứng minh rằng $\sqrt2(\sin t+\cos t)\ge2\sqrt[4]{\sin2t}$ với mọi $0\le t\le\pi/2$.

(b) Tìm $y$ sao cho $1+\dfrac{2\cot2y}{\cot y}\ge\dfrac{\tan2y}{\tan y}$ với mọi $y\in(0,\pi)$.

Cho tam giác $ABC$ và điểm $M$ bất kì nằm trong tam giác đó. Từ $M$ hạ những đường thẳng vuông góc $MA_1,MB_1,MC_1$ lần lượt đến các cạnh $BC,CA,AB$. Hãy xác định quỹ tích các điểm $M$ sao cho số đo diện tích của tam giác $A_1B_1C_1$ bằng số $k$ cho trước. Biện luận.

Có thể biểu diễn một số nguyên dưới dạng một trong các tổng sau hay không?

(a) $\dfrac1{a_1}+\dfrac1{a_2}+\cdots+\dfrac1{a_6}$.

(b) $\dfrac1{a_1}+\dfrac1{a_2}+\cdots+\dfrac1{a_9}$.

Trong đó $a_1,a_2,\ldots,a_9$ là các số nguyên dương phân biệt.

So sánh
$$S_n=\sum_{k=1}^n\frac{k}{(2n-2k+1)(2n-k+1)},\qquad T_n=\sum_{k=1}^n\frac1k.$$

Cho một tứ diện trong đó các cặp cạnh đối diện bằng nhau từng đôi một và theo thứ tự bằng $a,b,c$ ($a\lt b\lt c$). Một mặt phẳng cắt tứ diện đã cho theo một tứ giác. Hãy tìm vị trí của mặt phẳng sao cho tứ giác thiết diện có chu vi bé nhất. Trong điều kiện nói trên hãy tìm quỹ tích của những trọng tâm của các tứ giác thiết diện.