Gọi $\alpha$ là nghiệm dương của phương trình $x^2+x=5$. Giả sử $n$ là số nguyên dương và các số nguyên không âm $c_0,c_1,\ldots,c_n$ thỏa mãn
$$c_0+c_1\alpha+c_2\alpha^2+\cdots+c_n\alpha^n=2015.$$
a) Chứng minh rằng $c_0+c_1+\cdots+c_n\equiv2\pmod3$.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng $c_0+c_1+\cdots+c_n$.
Cho đường tròn $(O)$ có dây $BC$ cố định và không phải đường kính. Điểm $A$ di chuyển trên cung lớn $BC$ sao cho tam giác $ABC$ nhọn và $AB\lt AC$. Gọi $I,H$ lần lượt là trung điểm $BC$ và trực tâm tam giác $ABC$. Tia $IH$ cắt lại $(O)$ tại $K$. Đường thẳng $AH$ cắt đường thẳng $BC$ tại $D$, và $KD$ cắt lại $(O)$ tại $M$. Qua $M$ kẻ đường thẳng vuông góc với $BC$, cắt $AI$ tại $N$.
(a) Chứng minh $N$ luôn thuộc một đường tròn cố định khi $A$ thay đổi.
(b) Đường tròn tiếp xúc với $AK$ tại $A$ và đi qua $N$ cắt lại $AB,AC$ lần lượt tại $P,Q$. Gọi $J$ là trung điểm $PQ$. Chứng minh $AJ$ luôn đi qua một điểm cố định.
Một số nguyên dương $k$ có tính chất $T(m)$ nếu với mọi số nguyên dương $a$, tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho
$$1^k+2^k+\cdots+n^k\equiv a\pmod m.$$
a) Tìm tất cả số nguyên dương $k$ có tính chất $T(20)$.
b) Tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất có tính chất $T(20^{15})$.
Có 100 sinh viên tham dự một cuộc thi vấn đáp. Ban giám khảo gồm 25 thành viên. Mỗi sinh viên được hỏi bởi một giám khảo. Biết rằng mỗi sinh viên thích ít nhất 10 giám khảo trong số các thành viên trên.
a) Chứng minh rằng có thể chọn ra 7 giám khảo mà mỗi sinh viên đều thích ít nhất 1 trong 7 người đó.
b) Chứng minh rằng có thể sắp xếp lịch thi sao cho mỗi sinh viên được đúng 1 giám khảo mình thích hỏi và mỗi giám khảo hỏi không quá 10 thí sinh.
Cho tam giác \(ABC\) nhọn không cân và điểm \(P\) nằm trong tam giác sao cho \(\angle APB=\angle APC=\alpha>180^\circ-\angle BAC\). Đường tròn ngoại tiếp tam giác \(APB\) cắt \(AC\) tại \(E\) khác \(A\); đường tròn ngoại tiếp tam giác \(APC\) cắt \(AB\) tại \(F\) khác \(A\). Gọi \(Q\) nằm trong tam giác \(AEF\) sao cho \(\angle AQE=\angle AQF=\alpha\). Gọi \(D\) là điểm đối xứng của \(Q\) qua \(EF\). Phân giác trong góc \(EDF\) cắt \(AP\) tại \(T\).
(a) Chứng minh \(\angle DET=\angle ABC\), \(\angle DFT=\angle ACB\).
(b) Đường thẳng \(PA\) cắt các đường thẳng \(DE,DF\) lần lượt tại \(M,N\). Gọi \(I,J\) lần lượt là tâm nội tiếp các tam giác \(PEM,PFN\), và \(K\) là tâm ngoại tiếp tam giác \(DIJ\). Đường thẳng \(DT\) cắt lại đường tròn này tại \(H\). Chứng minh \(HK\) đi qua tâm nội tiếp tam giác \(DMN\).
Lưu ý biên tập: giữ nguyên mệnh đề trong nguồn, nhưng ý (b) sai nếu không bổ sung điều kiện về vị trí các điểm. Lời giải phân biệt ý (a) đúng, lập luận của nguồn trong cấu hình hạn chế và phản ví dụ chính xác cho ý (b) đã in. Ký hiệu \(AC,AB\) phải hiểu là các đường thẳng chứa các cạnh: bất đẳng thức góc buộc \(E,F\) nằm trên các phần kéo dài qua \(A\).
Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất sao cho tồn tại các số thực $a_1,a_2,\ldots,a_n$ thỏa mãn
$$a_1+\cdots+a_n>0,\qquad a_1^3+\cdots+a_n^3\lt 0,\qquad a_1^5+\cdots+a_n^5>0.$$
Cho $a$ là số thực không âm và $(u_n)$ là dãy số xác định bởi
$$u_1=3,\qquad u_{n+1}=\frac12u_n+\frac{n^2}{4n^2+a}\sqrt{u_n^2+3}\quad(n\ge1).$$
a) Với $a=0$, chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
b) Với mọi $a\in[0,1]$, chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn.
Cho số nguyên dương $K$. Tìm số các số tự nhiên $n$ không vượt quá $10^K$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
i) $n$ chia hết cho 3;
ii) các chữ số trong biểu diễn thập phân của $n$ thuộc tập hợp $\{2,0,1,5\}$.
Cho đường tròn $(O)$ và hai điểm $B,C$ cố định trên $(O)$, $BC$ không là đường kính. Điểm $A$ thay đổi trên $(O)$ sao cho tam giác $ABC$ nhọn. Gọi $E,F$ lần lượt là chân đường cao kẻ từ $B,C$. Cho $(I)$ là đường tròn thay đổi đi qua $E,F$ và có tâm $I$.
a) Giả sử $(I)$ tiếp xúc với $BC$ tại $D$. Chứng minh $\dfrac{DB}{DC}=\sqrt{\dfrac{\cot B}{\cot C}}$.
b) Giả sử $(I)$ cắt cạnh $BC$ tại $M,N$. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ và $P,Q$ là các giao điểm của $(I)$ với đường tròn ngoại tiếp tam giác $HBC$. Đường tròn $(K)$ đi qua $P,Q$ và tiếp xúc với $(O)$ tại $T$ ($T$ cùng phía $A$ đối với $PQ$). Chứng minh rằng đường phân giác trong của góc $MTN$ luôn đi qua một điểm cố định.
Cho dãy đa thức $(f_n(x))$ xác định bởi
$$f_0(x)=2,\quad f_1(x)=3x,\quad f_n(x)=3xf_{n-1}(x)+(1-x-2x^2)f_{n-2}(x)\quad(n\ge2).$$
Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ để $f_n(x)$ chia hết cho $x^3-x^2+x$.
Với $a,n$ là các số nguyên dương, xét phương trình
$$a^2x+6ay+36z=n,$$
trong đó $x,y,z$ là các số tự nhiên.
a) Tìm tất cả các giá trị của $a$ để với mọi $n\ge250$, phương trình đã cho luôn có nghiệm tự nhiên $(x,y,z)$.
b) Biết rằng $a\gt 1$ và nguyên tố cùng nhau với 6. Tìm giá trị lớn nhất của $n$ theo $a$ để phương trình đã cho không có nghiệm $(x,y,z)$.
Có $m$ học sinh nữ và $n$ học sinh nam ($m,n\ge2$) tham gia một Liên hoan Song ca. Tại liên hoan, mỗi buổi biểu diễn một chương trình văn nghệ. Mỗi chương trình gồm một số bài hát song ca nam–nữ, trong đó mỗi đôi nam–nữ chỉ hát với nhau không quá một bài và mỗi học sinh đều được hát ít nhất một bài. Hai chương trình được coi là khác nhau nếu có một cặp nam–nữ hát với nhau ở chương trình này nhưng không hát với nhau ở chương trình kia. Liên hoan chỉ kết thúc khi tất cả các chương trình khác nhau có thể có đều được biểu diễn, mỗi chương trình đúng một lần.
a) Một chương trình được gọi là lệ thuộc vào học sinh $X$ nếu hủy tất cả các bài song ca mà $X$ tham gia thì có ít nhất một học sinh khác không được hát bài nào trong chương trình đó. Chứng minh rằng trong tất cả các chương trình lệ thuộc vào $X$, số chương trình có số lẻ bài hát bằng số chương trình có số chẵn bài hát.
b) Chứng minh rằng ban tổ chức có thể sắp xếp các buổi biểu diễn sao cho số bài hát tại hai buổi liên tiếp bất kỳ không cùng tính chẵn lẻ.
