Cho số nguyên $n\gt 2$ và dãy số nguyên dương $a_1\lt a_2\lt \cdots\lt a_n$. Chọn $X\subseteq\{1,\ldots,n\}$ sao cho $\left|\sum_{i\notin X}a_i-\sum_{i\in X}a_i\right|$ nhỏ nhất. Chứng minh tồn tại dãy số nguyên dương $b_1\lt b_2\lt \cdots\lt b_n$ sao cho $\sum_{i\notin X}b_i=\sum_{i\in X}b_i$.
Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân nội tiếp đường tròn $(O)$, có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với các cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. Gọi $K,M,N$ lần lượt là trung điểm $BC,CA,AB$.
(a) Chứng minh rằng các đường thẳng qua $D,E,F$ lần lượt song song với $IK,IM,IN$ đồng quy.
(b) Gọi $T,P,Q$ lần lượt là điểm chính giữa cung lớn $BC,CA,AB$ của $(O)$. Chứng minh rằng các đường thẳng qua $D,E,F$ lần lượt song song với $IT,IP,IQ$ đồng quy.
Một giải bóng đá có $4n$ đội, với $n$ nguyên dương. Mỗi lượt chia tất cả các đội thành $2n$ cặp để thi đấu. Hai đội bất kỳ đấu với nhau không quá một trận. Tìm số nguyên dương $a$ nhỏ nhất sao cho có thể sắp xếp $a$ lượt, sau đó với mọi cách chia các đội thành $2n$ cặp luôn có ít nhất một cặp đã đấu với nhau.
Cho số nguyên dương $n$. Mỗi ô của bảng $(2n+1)\times(2n+1)$ được tô trắng hoặc đen. Ở mỗi hàng và cột, đánh dấu tất cả các ô thuộc màu có số lượng ít hơn. Gọi $a,b$ lần lượt là tổng số ô đen, trắng và $c$ là số ô được đánh dấu ít nhất một lần. Chứng minh $c\ge\min(a,b)/2$.
Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân nội tiếp đường tròn $(O)$, có các đường cao $AD,BE,CF$ đồng quy tại trực tâm $H$. Gọi $G$ là điểm đối xứng với $O$ qua $BC$. Kẻ các đường kính $EK,FL$ của các đường tròn $(GHE),(GHF)$.
(a) Giả sử $AK,AL$ lần lượt cắt $DE,DF$ tại $U,V$. Chứng minh rằng $UV\parallel EF$.
(b) Tiếp tuyến tại $B,C$ của $(O)$ cắt nhau tại $S$. Gọi $T$ là giao điểm của $DS$ với $HG$. Gọi $M,N$ lần lượt là hình chiếu của $H$ trên các đường thẳng $TE,TF$. Chứng minh rằng $M,N,E,F$ cùng thuộc một đường tròn.
Lưu ý biên tập: nguồn thiếu một điều kiện để phép dựng ở câu (b) xác định. Ngay với tam giác nhọn không cân, $DS$ và $HG$ có thể song song, nên chưa chắc tồn tại $T$. Lời giải dưới đây chứng minh kết luận khi giao điểm này hữu hạn; một phản ví dụ đã kiểm tra đầy đủ về sự tồn tại tự động của $T$ được trình bày sau chứng minh. Phát biểu nguồn không bị âm thầm sửa đổi.