Cho số nguyên $n\gt 2$ và dãy số nguyên dương $a_1\lt a_2\lt \cdots\lt a_n$. Chọn $X\subseteq\{1,\ldots,n\}$ sao cho $\left|\sum_{i\notin X}a_i-\sum_{i\in X}a_i\right|$ nhỏ nhất. Chứng minh tồn tại dãy số nguyên dương $b_1\lt b_2\lt \cdots\lt b_n$ sao cho $\sum_{i\notin X}b_i=\sum_{i\in X}b_i$.
Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân nội tiếp đường tròn $(O)$, có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với các cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. Gọi $K,M,N$ lần lượt là trung điểm $BC,CA,AB$.
(a) Chứng minh rằng các đường thẳng qua $D,E,F$ lần lượt song song với $IK,IM,IN$ đồng quy.
(b) Gọi $T,P,Q$ lần lượt là điểm chính giữa cung lớn $BC,CA,AB$ của $(O)$. Chứng minh rằng các đường thẳng qua $D,E,F$ lần lượt song song với $IT,IP,IQ$ đồng quy.
Một giải bóng đá có $4n$ đội, với $n$ nguyên dương. Mỗi lượt chia tất cả các đội thành $2n$ cặp để thi đấu. Hai đội bất kỳ đấu với nhau không quá một trận. Tìm số nguyên dương $a$ nhỏ nhất sao cho có thể sắp xếp $a$ lượt, sau đó với mọi cách chia các đội thành $2n$ cặp luôn có ít nhất một cặp đã đấu với nhau.
Cho số nguyên dương $n$. Mỗi ô của bảng $(2n+1)\times(2n+1)$ được tô trắng hoặc đen. Ở mỗi hàng và cột, đánh dấu tất cả các ô thuộc màu có số lượng ít hơn. Gọi $a,b$ lần lượt là tổng số ô đen, trắng và $c$ là số ô được đánh dấu ít nhất một lần. Chứng minh $c\ge\min(a,b)/2$.
Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân nội tiếp đường tròn $(O)$, có các đường cao $AD,BE,CF$ đồng quy tại trực tâm $H$. Gọi $G$ là điểm đối xứng với $O$ qua $BC$. Kẻ các đường kính $EK,FL$ của các đường tròn $(GHE),(GHF)$.
(a) Giả sử $AK,AL$ lần lượt cắt $DE,DF$ tại $U,V$. Chứng minh rằng $UV\parallel EF$.
(b) Tiếp tuyến tại $B,C$ của $(O)$ cắt nhau tại $S$. Gọi $T$ là giao điểm của $DS$ với $HG$. Gọi $M,N$ lần lượt là hình chiếu của $H$ trên các đường thẳng $TE,TF$. Chứng minh rằng $M,N,E,F$ cùng thuộc một đường tròn.
Lưu ý biên tập: nguồn thiếu một điều kiện để phép dựng ở câu (b) xác định. Ngay với tam giác nhọn không cân, $DS$ và $HG$ có thể song song, nên chưa chắc tồn tại $T$. Lời giải dưới đây chứng minh kết luận khi giao điểm này hữu hạn; một phản ví dụ đã kiểm tra đầy đủ về sự tồn tại tự động của $T$ được trình bày sau chứng minh. Phát biểu nguồn không bị âm thầm sửa đổi.
Cho dãy $(x_n)$ xác định bởi $x_1=1$ và
$$x_{n+1}=x_n+3\sqrt{x_n}+\frac n{\sqrt{x_n}}\quad(n\ge1).$$
a) Chứng minh rằng $\lim_{n\to\infty}n/x_n=0$.
b) Tìm giới hạn $\lim_{n\to\infty}n^2/x_n$.
a) Cho ba số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$. Chứng minh rằng
$$|a-b|+|b-c|+|c-a|\le2\sqrt2.$$
b) Cho 2019 số thực $a_1,\ldots,a_{2019}$ thỏa mãn $\sum_{i=1}^{2019}a_i^2=1$. Tìm giá trị lớn nhất của
$$S=|a_1-a_2|+|a_2-a_3|+\cdots+|a_{2018}-a_{2019}|+|a_{2019}-a_1|.$$
Cho dãy $(a_n)$ xác định bởi $a_1=5$, $a_2=13$ và $a_{n+1}=5a_n-6a_{n-1}$ với mọi $n\ge2$.
a) Chứng minh rằng hai số hạng liên tiếp của dãy trên nguyên tố cùng nhau.
b) Chứng minh rằng nếu $p$ là ước nguyên tố của $a_{2^k}$ thì $p-1$ chia hết cho $2^{k+1}$ với mọi số tự nhiên $k$.
Cho tam giác nhọn không cân $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và có trực tâm $H$. Gọi $D,E,F$ lần lượt là các điểm đối xứng của $O$ qua các đường thẳng $BC,CA,AB$.
a) Gọi $H_a$ là điểm đối xứng của $H$ qua $BC$, $A'$ là điểm đối xứng của $A$ qua $O$ và $O_a$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BOC$. Chứng minh rằng $H_aD$ và $O_aA'$ cắt nhau trên $(O)$.
b) Lấy điểm $X$ sao cho tứ giác $AXDA'$ là hình bình hành. Chứng minh rằng ba đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AHX,ABF,ACE$ có một điểm chung thứ hai khác $A$.
Lưu ý biên tập: khẳng định in ở ý b có một cấu hình ngoại lệ được giả thiết cho phép; lời giải giải thích rõ, không thay đổi đề nguồn.
Cho hệ phương trình với tham số $a$:
$$\begin{cases}x-ay=yz,\\ y-az=zx,\\ z-ax=xy,\end{cases}\qquad x,y,z\in\mathbb R.$$
a) Giải hệ phương trình khi $a=0$.
b) Chứng minh rằng hệ trên có 5 nghiệm phân biệt với mọi số thực $a\gt 1$.
Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân. Gọi $D,E,F$ lần lượt là chân các đường cao hạ từ $A,B,C$. Đường tròn đường kính $AD$ cắt lại $DE,DF$ lần lượt tại $M,N$. Lấy các điểm $P,Q$ tương ứng trên $AB,AC$ sao cho $NP\perp AB$, $MQ\perp AC$. Gọi $(I)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $APQ$.
a) Chứng minh rằng $(I)$ tiếp xúc với $EF$.
b) Gọi $T$ là tiếp điểm của $(I)$ với $EF$. $DT$ cắt $MN$ tại $K$. Gọi $L$ là điểm đối xứng của $A$ qua $MN$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $DKL$ đi qua giao điểm của $EF$ và $MN$.
Lưu ý biên tập: đường tròn ở ý b không xác định trong một cấu hình suy biến được giả thiết cho phép; lời giải giải thích thiếu sót này của nguồn.
Cho số nguyên dương $n\gt 1$. Kí hiệu $T$ là tập hợp tất cả các bộ có thứ tự $(x,y,z)$, trong đó $x,y,z$ là các số nguyên dương đôi một khác nhau và $1\le x,y,z\le2n$. Một tập hợp $\mathcal A$ các bộ có thứ tự $(u,v)$ được gọi là liên kết với $T$ nếu với mỗi $(x,y,z)\in T$ thì
$$\{(x,y),(y,z),(z,x)\}\cap\mathcal A\ne\varnothing.$$
a) Tính số phần tử của $T$.
b) Chứng minh tồn tại một tập hợp liên kết với $T$ có đúng $2n(n-1)$ phần tử.
c) Chứng minh mọi tập hợp liên kết với $T$ có không ít hơn $2n(n-1)$ phần tử.