Trong một trạm lưới liên lạc giữa hai vùng $A$ và $B$ có $n$ trạm ở vùng $A$ và $k$ trạm ở vùng $B$. Mỗi trạm ở vùng $A$ có thể liên lạc được với ít nhất $k-p$ trạm ở vùng $B$. Chứng minh rằng nếu $n\cdot p\lt k$ thì có ít nhất một trạm ở vùng $B$ có thể liên lạc được với mọi trạm ở vùng $A$.
Cho những số $x\gt 0$, $y_1\gt 0$, $x_2\lt 0$, $y_2\gt 0$, $x_3\lt 0$, $y_3\lt 0$, $x_4\gt 0\gt y_4$. Biết rằng với mỗi $i=\overline{1,4}$ ta có $(x_i-a)^2+(y_i-b)^2\le c^2$. Hãy chứng minh rằng $a^2+b^2\le c^2$. Phát biểu sự kiện trên dưới dạng một mệnh đề trong hình học phẳng.
Lưu ý nguồn: ký hiệu đầu in là $x\gt 0$, thiếu chỉ số. Lời giải nêu rõ và sử dụng điều kiện cần có theo ý định của đề là $x_1\gt 0$; cách viết nguyên văn có khiếm khuyết.
Cho hai vòng tròn tâm $O,O'$ bán kính $R,R'$ tương ứng cắt nhau ở hai điểm $P,Q$ và một đường thẳng $\Delta$ biến thiên luôn bị hai vòng tròn nói trên cắt thành một hàng điểm điều hòa.
(a) Từ hai tâm $O$ và $O'$ người ta hạ các đường vuông góc $OH$ và $O'H'$ xuống đường thẳng $\Delta$. Hãy dùng suy luận logic mà đoán nhận quỹ tích của các điểm $H$ và $H'$ (càng đoán nhận được chính xác càng tốt).
(b) Chứng minh những điều đoán nhận về quỹ tích của hai điểm $H$ và $H'$ và xác định giới hạn của các quỹ tích đó. Trong trường hợp nào thì quỹ tích đi qua hai điểm $O$ và $O'$.
(c) Với giả thiết rằng $OO'\lt \sqrt{R^2+R'^2}$ hãy xác định trên đường thẳng $\Delta$ một điểm $M$ sao cho tổng của các đoạn thẳng $MO$ và $MO'$ là ngắn nhất với mọi con đường khác nối $O$ và $O'$ và có điểm qua một điểm trên $\Delta$. Chứng minh rằng đường đi ngắn nhất đó là không đổi khi $\Delta$ biến thiên. Phải đổi câu hỏi như thế nào để $OO'\gt \sqrt{R^2+R'^2}$.
Quy ước: hai giao điểm thuộc mỗi đường tròn tạo thành một cặp trong hai cặp điều hòa; cả bốn giao điểm phải thực và phân biệt. Không xét tiếp xúc. Nguồn không nói rõ “quỹ tích” là cả đường tròn mang quỹ tích hay các cung được phép; lời giải phân biệt hai khái niệm.