Cho dãy số nguyên $(a_n)_{n\ge0}$ xác định bởi $a_0=1$ và
$$a_n=a_{n-1}+a_{\lfloor n/3\rfloor}\qquad(n\ge1).$$
Chứng minh với mỗi số nguyên tố $p\le13$, có vô số số nguyên $k\ge0$ sao cho $p\mid a_k$. Ký hiệu $\lfloor x\rfloor$ là phần nguyên của $x$.
Hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A,B$. Một tiếp tuyến chung tiếp xúc với chúng tại $P,T$. Các tiếp tuyến tại $P,T$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $APT$ cắt nhau tại $S$. Gọi $H$ là điểm đối xứng của $B$ qua $PT$. Chứng minh $A,S,H$ thẳng hàng.
Một câu lạc bộ có 42 thành viên. Trong 31 thành viên bất kỳ, luôn có một bạn nam và một bạn nữ quen nhau. Chứng minh chọn được 12 cặp nam nữ quen nhau.
Làm rõ cách hiểu: các cặp đôi không chung thành viên.
Xét các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $21ab+2bc+8ca\le12$. Tìm giá trị nhỏ nhất của
$$P(a,b,c)=\frac1a+\frac1b+\frac1c.$$
Chú thích: bản đề được cung cấp khác các nguồn đối chiếu ở miền xác định và biểu thức cần tối ưu. Các nghịch đảo chỉ xác định khi mẫu khác không; lời giải phân biệt nguyên văn với các phiên bản sửa được ghi rõ.
Cho số nguyên $n>1$. Tập $T$ gồm các điểm tọa độ nguyên $(x,y,z)$ với $1\le x,y,z\le n$. Tô màu sao cho nếu $A=(x_0,y_0,z_0)$ được tô thì điểm $B=(x_1,y_1,z_1)$ thỏa $x_1\le x_0$, $y_1\le y_0$, $z_1\le z_0$ không được tô. Tìm số điểm lớn nhất có thể tô.
Làm rõ: $B$ được hiểu là điểm khác $A$. Nếu cho phép lấy chính $B=A$, không điểm nào được tô. Lời giải ghi nhận cách đọc nguyên văn này và chứng minh cực trị theo cách hiểu hai điểm khác nhau.
Cho dãy $(a_n)_{n\ge1}$ thỏa mãn
$$0\lt a_{n+1}-a_n\le2001\qquad(n\ge1).$$
Chứng minh có vô số cặp số nguyên dương $(p,q)$ sao cho $p\lt q$ và $a_p\mid a_q$.
Chú thích: trang được cung cấp không nêu các số hạng là số nguyên. Lời giải chứng minh mệnh đề chia hết theo giả thiết số hạng nguyên được ghi rõ, có nguồn đối chiếu xác nhận.
Cho hai đường tròn $O$ và $O'$ cắt nhau ở $A$ và $B$. Đường thẳng $TT'$ tiếp xúc với đường tròn thứ nhất tại điểm $T$ và đường tròn thứ hai tại $T'$. Các đường vuông góc từ $T$ và $T'$ cắt đường thẳng $OO'$ tại $S$ và $S'$. Tia $AS$ cắt đường tròn thứ nhất tại $R$ và tia $AS'$ cắt đường tròn thứ hai tại $R'$. Chứng minh rằng $R,B$ và $R'$ thẳng hàng.
Cho số nguyên dương $n$ và $a,b$ là hai số nguyên lớn hơn $1$ nguyên tố cùng nhau. Giả sử rằng $M=a^{6^n}+b^{6^n}$ có ít nhất hai ước lẻ lớn hơn $1$. Hãy xác định số dư của $M$ cho $6\cdot12^n$.
Với số thực $a,b$ được xác định dãy $x_0,x_1,x_2,\ldots$ bởi $x_0=a$, $x_{n+1}=x_n+b\sin x_n$. Nếu $b=1$ chứng minh rằng dãy đã cho hội tụ tới một giá trị hữu hạn với mọi $a$. Nếu $b\gt 2$ chứng minh rằng dãy phân kì với $a$ nào đó.
Hãy xác định giá trị lớn nhất của biểu thức
$$\frac1{\sqrt x}+\frac2{\sqrt y}+\frac3{\sqrt z}$$
ở đó $x,y,z$ là các số dương thoả mãn điều kiện sau
$$\begin{cases}\dfrac1{\sqrt2}\le z\le\min\{x\sqrt2,y\sqrt3\},\\[3pt]x+z\sqrt3\ge\sqrt6,\\[3pt]y\sqrt3+z\sqrt{10}\ge2\sqrt5.\end{cases}$$
Cho $a_1,a_2,\ldots,a_{2n}$ là một hoán vị của $\{1,2,\ldots,2n\}$ sao cho
$$|a_i-a_{i+1}|\ne|a_j-a_{j+1}|$$
với mọi $i\ne j$. Chứng minh rằng $a_1=a_{2n}+n$ khi và chỉ khi $1\le a_{2i}\le n$ với $i=1,2,\ldots,n$.