Cho số thực $\alpha$ và xét hàm số $\varphi(x)=x^2e^{\alpha x}$ với $x\in\mathbb R$. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa mãn, với mọi $x,y\in\mathbb R$, $$f(\varphi(x)+f(y))=y+\varphi(f(x)).$$
Tài liệu nguồn không ghi điểm. Mỗi bài được gán 1 điểm biên tập để tương thích khi nhập; đây không phải thang điểm chính thức.
Cho một khối đa diện lồi 2022 mặt. Trên ba mặt nào đó của nó có sẵn các số 26, 4 và 2022, mỗi mặt có đúng một số. Điền vào mỗi mặt còn lại một số thực sao cho mỗi số được điền bằng trung bình cộng của các số trong các mặt có cạnh chung với mặt chứa nó. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một cách điền như vậy.
Cho hình bình hành $ABCD$ có $I$ là giao điểm hai đường chéo $AC,BD$. Xét điểm $G$ bên trong tam giác $IAB$ sao cho $$\angle IAG=\angle IBG=45^\circ-\frac{\angle AIB}{4}.$$ Ký hiệu $E,F$ tương ứng là hình chiếu của $C$ lên $AG$ và của $D$ lên $BG$. Trung tuyến đỉnh $E$ của tam giác $BEF$ và trung tuyến đỉnh $F$ của tam giác $AEF$ cắt nhau tại $H$.
(a) Chứng minh rằng $AF,BE,IH$ đồng quy; gọi điểm đồng quy là $L$.
(b) Gọi $K$ là giao điểm của $CE,DF$. Gọi $J$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $LAB$ và $M,N$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $EIJ,FIJ$. Chứng minh rằng $EM,FN$ và đường thẳng nối tâm các đường tròn ngoại tiếp hai tam giác $GAB,KCD$ đồng quy.
Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân nội tiếp đường tròn $(O)$. Đường thẳng qua $O$ và trung điểm $I$ của $BC$ cắt các đường thẳng $AB,AC$ theo thứ tự tại $E,F$. Gọi $D,G$ lần lượt là các điểm đối xứng của $A$ qua $O$ và qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$. Gọi $K$ là điểm đối xứng của $O$ qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $OBC$.
(a) Chứng minh rằng $D,G,K$ thẳng hàng.
(b) Trên các đường thẳng $KB,KC$ lần lượt lấy $M,N$ sao cho $IM\perp AC$ và $IN\perp AB$. Trung trực $IK$ cắt $MN$ tại $H$. Giả sử $IH$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $P,Q$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $APQ$ cắt lại $(O)$ tại một điểm thuộc đường thẳng $AI$.
Một số hữu tỉ $x$ được gọi là “đẹp” nếu nó có thể biểu diễn hữu hạn trong hệ cơ số $b$, với $b$ là số nguyên dương thuộc $[2,2022]$. Chứng minh rằng tồn tại hữu hạn số nguyên dương $n\ge4$ sao cho với mọi số nguyên dương $m$ thuộc khoảng $(2n/3,n)$ thì trong hai số $$\frac m{n-m},\qquad\frac{n-m}{m}$$ có ít nhất một số đẹp.
Cho tập hợp $A=\{1,2,\ldots,4044\}$. Tô màu 2022 phần tử của $A$ bởi màu trắng và 2022 phần tử còn lại bởi màu đen. Với mỗi $i\in A$, gọi trọng số của $i$ là tổng số các số được tô trắng nhỏ hơn $i$ và các số được tô đen lớn hơn $i$. Với mỗi số tự nhiên $m$, hãy xác định tất cả số nguyên dương $k$ sao cho tồn tại cách tô màu tập hợp $A$ để có đúng $k$ số có trọng số đúng bằng $m$.
Cho $a\ge0$ và dãy
$$u_1=6,\qquad u_{n+1}=\frac{2n+a}{n}+\sqrt{\frac{n+a}{n}u_n+4}\quad(n\ge1).$$
(a) Với $a=0$, chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn.
(b) Với mọi $a\ge0$, chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn.
Cho tam giác nhọn $ABC$. Các điểm $E,F$ thay đổi trên tia đối của $BA,CA$ tương ứng sao cho $BF=CE$, $E\ne B,F\ne C$. Gọi $M,N$ là trung điểm $BE,CF$, và $D=BF\cap CE$.
(a) Gọi $I,J$ là tâm ngoại tiếp $DBE,DCF$. Chứng minh $MN\parallel IJ$.
(b) Gọi $K$ là trung điểm $MN$, $H$ là trực tâm $AEF$. Chứng minh $HK$ đi qua một điểm cố định.
Với số nguyên dương $n\lt m$, gọi $s(n,m)$ là số số nguyên dương thuộc $[n,m]$ và nguyên tố cùng nhau với $m$. Tìm mọi $m\ge2$ thỏa đồng thời:
(i) $\dfrac{s(n,m)}{m-n}\ge\dfrac{s(1,m)}m$ với mọi $n=1,2,\ldots,m-1$;
(ii) $2022^m+1$ chia hết cho $m^2$.
Cho hai đa thức không hằng $P,Q$ có hệ số nguyên không âm. Mọi hệ số của $P$ không vượt 2021, còn $Q$ có ít nhất một hệ số lớn hơn 2021. Giả sử $P(2022)=Q(2022)$ và hai đa thức có chung nghiệm hữu tỉ khác không $p/q$, với $p,q\in\mathbb Z$ nguyên tố cùng nhau. Chứng minh
$$|p|+n|q|\le Q(n)-P(n)\qquad(n=1,2,\ldots,2021).$$
Gieo bốn con súc sắc cân đối, đồng chất. Gọi $x_i\in\{1,2,\ldots,6\}$ là số chấm của con thứ $i$, $i=1,2,3,4$.
(a) Tính số bộ $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ có thể có.
(b) Tính xác suất một số bằng tổng ba số còn lại.
(c) Tính xác suất chia bốn số thành hai nhóm có tổng bằng nhau.
Cho $B,C$ cố định trên đường tròn $(O)$, $BC$ không qua $O$. Điểm $A$ thay đổi trên cung lớn $BC$ sao cho $AB\ne AC$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC$ tại $D$. Gọi $I_a$ là tâm bàng tiếp góc $A$, $L=I_aD\cap OI$, và $E\in(I)$ sao cho $DE\parallel AI$.
(a) Gọi $F=LE\cap AI$. Chứng minh $AF=AI$.
(b) Trên đường tròn ngoại tiếp $(J)$ của $I_aBC$, lấy $M$ sao cho $I_aM\parallel AD$. $MD$ cắt lại $(J)$ tại $N$. Chứng minh trung điểm $T$ của $MN$ thuộc một đường tròn cố định.