Cho hai số tự nhiên $n,m$ với $n\gt 1$. Tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất có tính chất sau: trong $k$ số nguyên tùy ý $a_1,a_2,\ldots,a_k$ mà $a_i-a_j$ không chia hết cho $n$ với mọi $i\ne j$, luôn tồn tại hai số $a_p,a_s$, $p\ne s$, sao cho $m+a_p-a_s$ chia hết cho $n$.
PDF được cung cấp không ghi thời gian làm bài. Bản này dùng 240 phút mỗi buổi theo yêu cầu của người dùng, tổng 480 phút cho hai buổi; đây là quy ước biên tập. Nguồn được cung cấp không ghi điểm từng bài. Mỗi bài dùng 1 điểm biên tập để tương thích khi nhập; đây không phải thang điểm chính thức.
Nguồn in ngày thi 19–20/05/1992; việc chia bài 1–3 và 4–6 là quy ước biên tập vì nguồn không có vạch chia buổi rõ ràng. Mọi hướng dẫn chấm tự luận đều do biên tập, và bài được chấm thủ công. Hệ số nhập: đúng 1, sai 0, bỏ trống 0.
Cho đa thức $f(x)$ có hệ số thực và bậc không nhỏ hơn một. Chứng minh rằng với mỗi $c\gt 0$, tồn tại số nguyên dương $n_0$ sao cho với mọi đa thức $P(x)$ có hệ số thực, bậc không nhỏ hơn $n_0$ và hệ số bậc cao nhất bằng một, số các số nguyên $x$ thỏa $|f(P(x))|\le c$ không vượt quá bậc của $P(x)$.
Cho tam giác $ABC$ có $BC=a,CA=b,AB=c$ và $a\ne b\ne c$. Trong mặt phẳng của tam giác lấy $A',B',C'$ sao cho:
1. Các cặp $A,A'$; $B,B'$; $C,C'$ hoặc đều ở cùng phía, hoặc đều ở khác phía đối với các đường thẳng $BC,CA,AB$ tương ứng.
2. Các tam giác $A'BC,B'CA,C'AB$ là các tam giác cân đồng dạng.
Hãy xác định góc $\angle A'BC$ theo $a,b,c$ để các độ dài $AA',BB',CC'$ không phải là ba độ dài cạnh của một tam giác. Tam giác được hiểu theo nghĩa thông thường: ba đỉnh không thẳng hàng.
Trong mặt phẳng cho một họ hữu hạn hình tròn sao cho hai hình tròn bất kỳ hoặc ở ngoài nhau hoặc tiếp xúc ngoài, và mỗi hình tròn không tiếp xúc quá sáu hình tròn khác. Giả sử mỗi hình tròn không tiếp xúc với sáu hình tròn khác đã được gán một số thực. Chứng minh rằng có không quá một cách gán số thực cho các hình tròn còn lại sao cho số ở mỗi hình tròn ấy bằng trung bình cộng của sáu số ở sáu hình tròn tiếp xúc với nó.
Trong một hội thảo khoa học, các đại biểu biết tổng cộng $2n$ ngôn ngữ, với $n\ge2$. Mỗi người biết đúng hai ngôn ngữ, và bất cứ hai người nào cũng biết chung nhiều nhất một ngôn ngữ. Với mỗi số nguyên $k$ thỏa $1\le k\le n-1$, có không quá $k-1$ ngôn ngữ mà mỗi ngôn ngữ này có không quá $k$ người biết. Chứng minh rằng có thể chọn một nhóm $2n$ đại biểu biết tổng cộng $2n$ ngôn ngữ và mỗi ngôn ngữ có đúng hai đại biểu trong nhóm biết.
Cho tứ diện $ABCD$ thỏa mãn tổng ba góc phẳng đỉnh $A$ và $B$ cùng bằng $180^\circ$. Hai góc phẳng tại $C$ là $\angle ACD$ và $\angle BCD$ có tổng bằng $180^\circ$. Hãy xác định tổng các diện tích của bốn mặt theo $k=AC+CB$ và $\angle ACB=x$.
Với mỗi số nguyên dương $n$ kí hiệu $f(n)$ là số các ước dương của $n$ mà đồng dư với $\pm1$ theo modulo $10$, và xác định $g(n)$ là số các ước dương của $n$ mà đồng dư với $\pm3$ theo modulo $10$. Chứng minh rằng $f(n)\ge g(n)$.
Cho các số dương $a,b,c$. Xác định dãy $\{a_n\},\{b_n\}$ và $\{c_n\}$ thỏa mãn $a_0=a$, $b_0=b$ và $c_0=c$, đồng thời
$$a_{n+1}=a_n+\frac2{b_n+c_n},\quad b_{n+1}=\frac2{c_n+a_n},\quad c_{n+1}=c_n+\frac2{a_n+b_n}$$
với mọi $n\in\mathbb Z_+$. Chứng minh rằng $a_n$ tiến đến vô hạn khi $n$ tiến ra vô cùng.
Một hình chữ nhật kích thước $1991\times1992$ được chia thành các hình vuông đơn vị, mà ta đánh số các hình vuông đó bởi $(m,n)$ với $1\le m\le1991$ và $1\le n\le1992$ (tức là ô vuông nằm ở dòng thứ $m$ và cột thứ $n$). Đầu tiên ta sơn màu các hình vuông $(m,n)$, $(m+1,n+1)$ và $(m+2,n+2)$ với $m\lt 1989,n\lt 1991$. Sau đó mỗi lần tô màu ta tô ba hình vuông chưa tô màu mà nằm trên cùng một hàng hoặc trên cùng một cột. Hỏi rằng với cách làm trên có thể tô màu tất cả các hình vuông của hình chữ nhật hay không.
Cho hình chữ nhật $ABCD$ với tâm $O$ và góc $\angle AOB\le45^\circ$. Quay hình chữ nhật quanh tâm $O$ bởi góc $x$ thỏa mãn $0^\circ\lt x\lt 360^\circ$. Hãy xác định $x$ để phần giao của hình chữ nhật mới và hình chữ nhật ban đầu có diện tích bé nhất có thể.
Cho đa thức $p(x)$ với hằng số dẫn đầu bằng $1$ và mọi hệ số là bằng $0$ hoặc $1$. Chứng minh rằng đa thức $p(x)$ không có nghiệm thực nào lớn hơn
$$\frac{1-\sqrt5}{2}.$$