Cho tam giác nhọn không cân \(ABC\). Gọi \(D,E,F\) lần lượt là trung điểm của \(BC,CA,AB\), và \(O,O'\) là tâm ngoại tiếp, tâm đường tròn Euler. Điểm \(P\) nằm trong tam giác \(DEF\). Các đường thẳng \(DP,EP,FP\) cắt lại đường tròn Euler tại \(D',E',F'\). Gọi \(A',B',C'\) lần lượt là các điểm đối xứng của \(A,B,C\) qua \(D',E',F'\).
(a) Nếu \(PO=PO'\), chứng minh đường tròn \((A'B'C')\) đi qua \(O\).
(b) Gọi \(X,Y,Z\) lần lượt là các điểm đối xứng của \(A',B',C'\) qua \(OD,OE,OF\). Với \(H\) là trực tâm, đặt \(M=HX\cap BC\), \(N=HY\cap CA\), \(K=HZ\cap AB\). Chứng minh \(M,N,K\) thẳng hàng.
Chú thích miền xác định: câu (b) của bản in cho phép những vị trí mà đường thẳng hoặc giao điểm cần dùng không tồn tại. Lời giải dưới đây xét các cấu hình có các giao điểm hữu hạn, xác định; phần lời giải nêu một ngoại lệ cụ thể.
Với $m$ là số nguyên dương, xét bảng ô vuông $m\times2018$ gồm $m$ hàng, 2018 cột, trong đó có một vài ô trống, còn một vài ô được đánh số 0 hoặc 1. Bảng được gọi là “đầy đủ” nếu với bất kỳ chuỗi nhị phân $S$ có 2018 ký tự nào, ta đều có thể chọn một hàng rồi điền thêm 0, 1 vào các ô trống để 2018 ký tự của hàng tạo thành $S$ (nếu $S$ đã có sẵn trên một hàng thì cũng coi là thỏa mãn). Bảng được gọi là “tối giản” nếu nó đầy đủ và bỏ đi bất kỳ hàng nào thì không còn đầy đủ.
(a) Với $0\le k\le2018$, chứng minh tồn tại bảng tối giản $2^k\times2018$ có đúng $k$ cột chứa đủ cả 0 lẫn 1.
(b) Cho bảng tối giản $m\times2018$ có đúng $k$ cột chứa cả 0 lẫn 1. Chứng minh $m\le2^k$.
Một chuỗi nhị phân độ dài 2018 có dạng $x_1x_2\cdots x_{2018}$, trong đó $x_i\in\{0,1\}$ với mọi $i$.
Cho số nguyên $n\ge3$ và $A_n$ là tập hợp tất cả số nguyên dương nhỏ hơn $n$, nguyên tố cùng nhau với $n$. Xét đa thức
$$P_n(x)=\sum_{k\in A_n}x^{k-1}.$$
(a) Chứng minh $P_n(x)$ chia hết cho $x^r+1$ với một số nguyên dương $r$ nào đó.
(b) Tìm tất cả các số $n$ như trên để $P_n(x)$ bất khả quy trên $\mathbb Z[x]$.
Cho $a\in[\tfrac12,\tfrac23]$. Với $n=0,1,2,\ldots$, xác định
$$u_n=\frac3{2^{n+1}}(-1)^{\lfloor2^{n+1}a\rfloor},\qquad v_n=\frac3{2^{n+1}}(-1)^{n+\lfloor2^{n+1}a\rfloor}.$$
(a) Chứng minh
$$\left(\sum_{i=0}^{2018}u_i\right)^2+\left(\sum_{i=0}^{2018}v_i\right)^2\le72a^2-48a+10+\frac2{4^{2019}}.$$
(b) Tìm tất cả giá trị của $a$ để đẳng thức xảy ra.
Một bảng ô vuông $m\times n$ hình chữ nhật $ABCD$ có các đỉnh là giao lộ, tổng cộng $(m+1)(n+1)$ giao lộ. Người ta muốn thiết lập tuyến đường bắt đầu từ $A$, đi theo các cạnh song song với các cạnh hình chữ nhật, qua tất cả giao lộ đúng một lần rồi quay về $A$.
(a) Chứng minh xây dựng được tuyến đường như thế khi và chỉ khi $m$ lẻ hoặc $n$ lẻ.
(b) Với $m,n$ thỏa mãn (a), hỏi ít nhất có bao nhiêu giao lộ mà tại đó có ngã rẽ?
Cho tam giác nhọn \(ABC\) nội tiếp \((O)\). Đường tròn bàng tiếp góc \(A\), ký hiệu \((J)\), tiếp xúc các đường thẳng \(BC,CA,AB\) tại \(D,E,F\).
(a) Gọi \(L\) là trung điểm \(BC\). Đường tròn đường kính \(LJ\) cắt lại \(DE,DF\) tại \(K,H\). Chứng minh \((BDK)\) và \((CDH)\) có điểm chung khác \(D\) thuộc \((J)\).
(b) Giả sử \(G=EF\cap BC\), đường thẳng \(GJ\) cắt \(AB,AC\) tại \(M,N\). Lấy \(P\) trên đường thẳng \(JB\), \(Q\) trên đường thẳng \(JC\) sao cho \(AP\perp AB\), \(AQ\perp AC\). Đặt \(T=PM\cap QN\). Gọi \(S\) là điểm chính giữa cung lớn \(BC\) của \((O)\), và \(I\) là tâm nội tiếp. Chứng minh \(SI\) cắt \(AT\) tại một điểm trên \((O)\).
Điều kiện bổ sung công khai: các đường thẳng, giao điểm thứ hai và đường tròn được dùng phải xác định, không suy biến. Chỉ giả thiết tam giác nhọn chưa bảo đảm điều này, kể cả trong câu (a). Lời giải nêu phản ví dụ cụ thể cho miền xác định chưa hạn chế của bản in.