Cho số thực $a$ và xét dãy số $(u_n)$ xác định bởi
$$u_1=a,\qquad u_{n+1}=\frac12+\sqrt{\frac{2n+3}{n+1}u_n+\frac14}\quad(n\ge1).$$
a) Khi $a=5$, chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
b) Tìm tất cả $a$ để dãy xác định và có giới hạn hữu hạn.
Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, nội tiếp $(O)$. Gọi $H$ là trực tâm; $E,F$ lần lượt là chân đường cao từ $B,C$; $AH$ cắt $(O)$ tại $D\ne A$.
a) Gọi $I$ là trung điểm $AH$; $EI$ cắt $BD$ tại $M$, $FI$ cắt $CD$ tại $N$. Chứng minh $MN\perp OH$.
b) Các đường $DE,DF$ cắt $(O)$ lần lượt tại $P,Q\ne D$. Đường tròn ngoại tiếp $AEF$ cắt $(O)$ và $AO$ lần lượt tại $R,S\ne A$. Chứng minh $BP,CQ,RS$ đồng quy.
Cho số nguyên $n\gt 1$. Bảng vuông $ABCD$ kích thước $n\times n$ gồm các ô vuông đơn vị tô đen, trắng hoặc xám. Cách tô đối xứng là cách tô trong đó mỗi ô có tâm trên $AC$ được tô xám, và mỗi cặp ô đối xứng qua $AC$ cùng đen hoặc cùng trắng. Điền 0 vào ô xám, số nguyên dương vào ô trắng, số nguyên âm vào ô đen. Cách điền gọi là k-cân đối, với $k$ nguyên dương, nếu:
i) Mỗi cặp ô đối xứng được điền cùng một số nguyên thuộc $[-k,k]$.
ii) Nếu hàng và cột giao nhau tại ô đen, tập số dương trên hàng và tập số dương trên cột không giao nhau; nếu giao tại ô trắng, hai tập số âm tương ứng không giao nhau.
a) Với $n=5$, tìm $k$ nhỏ nhất để cách tô trong hình có cách điền k-cân đối.
b) Với $n=2017$, tìm $k$ nhỏ nhất để mọi cách tô đối xứng luôn có cách điền k-cân đối.
Chứng minh rằng
a) $\displaystyle\sum_{k=1}^{1008}k\binom{2017}{k}\equiv0\pmod{2017^2}$;
b) $\displaystyle\sum_{k=1}^{504}(-1)^k\binom{2017}{k}\equiv3(2^{2016}-1)\pmod{2017^2}$.
Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp $(O)$ và $G$ thuộc cung $BC$ không chứa $O$ của đường tròn $(I)$ ngoại tiếp tam giác $OBC$. Đường tròn ngoại tiếp $ABG$ cắt $AC$ tại $E\ne A$; đường tròn ngoại tiếp $ACG$ cắt $AB$ tại $F\ne A$.
a) Gọi $K=BE\cap CF$. Chứng minh $AK,BC,OG$ đồng quy.
b) Cho điểm cố định $D$ thuộc cung $BOC$ chứa $O$ của $(I)$; $GB$ cắt $CD$ tại $M$, $GC$ cắt $BD$ tại $N$. Giả sử $MN$ cắt $(O)$ tại hai điểm $P,Q$. Chứng minh rằng khi $G$ thay đổi trên cung $BC$ không chứa $O$, đường tròn ngoại tiếp $GPQ$ luôn đi qua hai điểm cố định.
