Cho dãy số $(a_n)$ được xác định bởi $a_1=1$ và, với mọi số nguyên $n\ge1$,
$$a_{2n}=a_n,\qquad a_{2n+1}=a_n+1.$$
a) Tìm tất cả số nguyên dương $n$ sao cho $a_{kn}=a_n$ với mọi số nguyên dương $k\le n$.
b) Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương $m$ mà $a_{km}\ge a_m$ với mọi số nguyên dương $k$.
Thời lượng luyện tập cả năm là 540 phút, bằng tổng hai ngày thi, mỗi ngày 270 phút theo tài liệu nguồn. Điểm từng bài được giữ đúng theo nhãn in trong tài liệu nguồn; không ngụ ý tự động chấm lời chứng minh. Hệ số chấm của bộ nhập: đúng 1, sai 0, bỏ trống 0.
Cho bảng ô vuông $2021\times2021$. Tìm giá trị lớn nhất của $k$ sao cho có thể đánh dấu $k$ ô của bảng mà mỗi ô trong $k$ ô đó chỉ có chung đỉnh với tối đa một ô được đánh dấu khác.
Cho tam giác $ABC$ và điểm $N$ không trùng với các điểm $A,B,C$. Gọi $A_b$ là điểm đối xứng với $A$ qua đường thẳng $NB$, còn $B_a$ là điểm đối xứng với $B$ qua đường thẳng $NA$. Xác định tương tự hai cặp điểm còn lại $B_c,C_b$ và $C_a,A_c$. Đường thẳng $m_a$ qua $N$ và vuông góc với $B_cC_b$. Xác định tương tự $m_b,m_c$.
a) Giả sử $N$ là trực tâm tam giác $ABC$, chứng minh rằng ba đường thẳng đối xứng với các đường $m_a,m_b,m_c$ lần lượt qua phân giác góc $\angle BNC,\angle CNA,\angle ANB$ thì trùng nhau.
b) Giả sử $N$ là tâm đường tròn Euler của tam giác $ABC$, chứng minh rằng ba đường thẳng đối xứng với $m_a,m_b,m_c$ lần lượt qua $BC,CA,AB$ thì đồng quy tại một điểm.
Cho đường tròn $(O)$ và dây cung $BC$ cố định, điểm $A$ di động trên $(O)$ sao cho $ABC$ nhọn, không cân. Gọi $I$ là trung điểm $BC$ và kẻ các đường cao $AD,BE,CF$ của tam giác $ABC$. Trên các tia $FA,EA$ lấy các điểm $M,N$ sao cho $FM=CE$, $FN = BF$. Giả sử $MN$ cắt $EF$ tại $L$ và $(LEN)$ cắt lại $(LFM)$ tại $G$.
a) Chứng minh rằng đường tròn $(MNG)$ luôn đi qua điểm cố định.
b) Giả sử $AD$ cắt lại $(O)$ tại $K$. Trên tiếp tuyến qua $D$ của $(DKI)$, lấy các điểm $P,Q$ sao cho $GP\parallel AB$, $GQ\parallel AC$. Gọi $T$ là tâm của đường tròn $(GPQ)$. Chứng minh rằng đường thẳng $GT$ luôn đi qua điểm cố định.
Bản quét được cung cấp ghi FN = BF. Tuyển tập tham khảo bên ngoài ghi EN = BF. Lời giải tham khảo sau đây chỉ áp dụng cho phiên bản đã sửa thành EN = BF; đây không phải lời chứng minh cho phát biểu nguyên văn FN = BF.
Phát biểu tham khảo đã sửa (tuyển tập):
Cho đường tròn $(O)$ và dây cung $BC$ cố định, điểm $A$ di động trên $(O)$ sao cho $ABC$ nhọn, không cân. Gọi $I$ là trung điểm $BC$ và kẻ các đường cao $AD,BE,CF$ của tam giác $ABC$. Trên các tia $FA,EA$ lấy các điểm $M,N$ sao cho $FM=CE$, $EN = BF$. Giả sử $MN$ cắt $EF$ tại $L$ và $(LEN)$ cắt lại $(LFM)$ tại $G$.
a) Chứng minh rằng đường tròn $(MNG)$ luôn đi qua điểm cố định.
b) Giả sử $AD$ cắt lại $(O)$ tại $K$. Trên tiếp tuyến qua $D$ của $(DKI)$, lấy các điểm $P,Q$ sao cho $GP\parallel AB$, $GQ\parallel AC$. Gọi $T$ là tâm của đường tròn $(GPQ)$. Chứng minh rằng đường thẳng $GT$ luôn đi qua điểm cố định.
Cho số nguyên dương $n\ge3$ và số nguyên tố $p$ thỏa mãn $p>6^{n-1}-2^n+1$. Xét tập hợp $S$ gồm $n$ số nguyên dương có số dư đôi một khác nhau khi chia cho $p$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $c$ sao cho có đúng hai bộ số có thứ tự $(x,y,z)\in S^3$, có các thành phần phân biệt, mà
$$x-y+z\equiv c\pmod p.$$
Cho dãy số thực $(x_n)$ có $x_1\in(0,1/2)$ và
$$x_{n+1}=3x_n^2-2n x_n^3\qquad(n\ge1).$$
a) Chứng minh $\lim_{n\to\infty}x_n=0$.
b) Với mỗi $n\ge1$, đặt $y_n=x_1+2x_2+\cdots+nx_n$. Chứng minh rằng dãy $(y_n)$ có giới hạn hữu hạn.
Cho tam giác nhọn không cân $ABC$ có trực tâm $H$ và $D,E,F$ lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh $A,B,C$. Gọi $(I)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $HEF$ với tâm $I$ và $K,J$ lần lượt là trung điểm $BC,EF$. Cho $HJ$ cắt lại $(I)$ tại $G$, $GK$ cắt lại $(I)$ tại $L$.
a) Chứng minh $AL$ vuông góc với $EF$.
b) Cho $AL$ cắt $EF$ tại $M$, $IM$ cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác $IEF$ tại $N$, $DN$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $P,Q$. Chứng minh $PE,QF,AK$ đồng quy.
Với số nguyên $n\ge2$, gọi $s(n)$ là tổng các số nguyên dương không vượt quá $n$ và không nguyên tố cùng nhau với $n$.
a) Chứng minh $s(n)=\frac n2\bigl(n+1-\varphi(n)\bigr)$, trong đó $\varphi(n)$ là số các số nguyên dương không vượt quá $n$ và nguyên tố cùng nhau với $n$.
b) Chứng minh không tồn tại số nguyên $n\ge2$ thỏa mãn $s(n)=s(n+2021)$.
Cho đa thức $P(x)=a_{21}x^{21}+a_{20}x^{20}+\cdots+a_1x+a_0$ có các hệ số thuộc $[1011,2021]$. Biết $P(x)$ có nghiệm nguyên và có số dương $c$ sao cho $|a_{k+2}-a_k|\le c$ với mọi $k\in\{0,1,\ldots,19\}$.
a) Chứng minh rằng $P(x)$ có đúng một nghiệm nguyên.
b) Chứng minh $\sum_{k=0}^{10}(a_{2k+1}-a_{2k})^2\le440c^2$.
Một học sinh chia tất cả $30$ viên bi vào $5$ cái hộp được đánh số $1,2,3,4,5$ (sau khi chia có thể có hộp không có viên bi nào).
a) Hỏi có bao nhiêu cách chia (hai cách khác nhau nếu có một hộp có số bi khác nhau)?
b) Sau khi chia, học sinh sơn $30$ viên bi bởi một số màu, mỗi viên đúng một màu, một màu có thể sơn nhiều viên, sao cho không có hai viên trong cùng một hộp sơn cùng màu và từ hai hộp bất kỳ không thể chọn tám viên được sơn bởi bốn màu. Chứng minh với mọi cách chia, học sinh đều phải dùng không ít hơn mười màu.
c) Chỉ ra một cách chia sao cho với đúng mười màu có thể sơn bi thỏa các điều kiện ở b).
Cho tam giác nhọn không cân $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $D$ là giao điểm hai tiếp tuyến của $(O)$ tại $B,C$. Đường tròn đi qua $A$ và tiếp xúc với $BC$ tại $B$ cắt trung tuyến đi qua $A$ của tam giác $ABC$ tại $G$. Cho $BG,CG$ lần lượt cắt $CD,BD$ tại $E,F$.
a) Đường thẳng đi qua trung điểm của $BE,CF$ lần lượt cắt $BF,CE$ tại $N,M$. Chứng minh $A,D,M,N$ cùng thuộc một đường tròn.
b) Cho $AD,AG$ lần lượt cắt lại đường tròn ngoại tiếp các tam giác $DBC,GBC$ tại $H,K$. Trung trực của $HK,HE,HF$ lần lượt cắt $BC,CA,AB$ tại $R,P,Q$. Chứng minh $R,P,Q$ thẳng hàng.