Ngân hàng câu hỏi VMO 1988

Có 1988 con gà nhốt vào 994 chuồng có hai con. Sau mỗi ngày người ta lại thay đổi vị trí của gà sao cho không có hai con gà nào đã ở chung trước đó lại nằm trong cùng một chuồng lần nữa. Hỏi có bao nhiêu ngày làm được như vậy.

Cho đa thức $P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n$ với $n\ge3$. Biết rằng đa thức có $n$ nghiệm thực và $a_0=1$, $a_1=-n$, $a_2=\dfrac{n^2-n}{2}$. Hãy xác định các hệ số $a_i$ với $i=3,4,\ldots,n$.

Mặt phẳng được phân chia thành các tam giác đều bằng nhau sao cho hai tam giác bất kì không có điểm chung nào hoặc có chung nhau một đỉnh hoặc chung nhau một cạnh. Có hay không một hình tròn chứa đúng 1988 đỉnh các tam giác đó?

Dãy số $\{x_n\}$ bị chặn mà thỏa mãn điều kiện $x_n+x_{n+1}\ge2x_{n+2}$ với mọi $n\ge1$ có nhất thiết hội tụ hay không?

Giả sử rằng có tam giác $\triangle ABC$ ba góc nhọn để $\tan A,\tan B,\tan C$ là ba nghiệm của phương trình $x^3+px^2+qx+p=0$ $(q\ne1)$. Chứng minh rằng $p\le-3\sqrt3$ và $q\gt 1$.

Trong không gian cho ba đường thẳng $a,b$ và $c$ đôi một chéo nhau. Chứng minh rằng $a,b,c$ có đường vuông góc chung khi và chỉ khi tích của ba phép đối xứng lần lượt qua $a,b,c$ cũng là phép đối xứng đối với một đường thẳng.