Ngân hàng câu hỏi VMO 1976

Hãy tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình
$$\begin{cases}x^{x+y}=y^{12},\\ y^{x+y}=x^3.\end{cases}$$

Hãy xác định dạng của tam giác $ABC$ biết rằng
$$\frac{a\cos A+b\cos B+c\cos C}{a\sin A+b\sin B+c\sin C}=\frac{a+b+c}{9R},$$
ở đó $a,b,c$ là độ dài của ba cạnh $BC,CA,AB$ và $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Chứng minh rằng với mọi điểm $M$ trong tam giác $ABC$ ta đều có bất đẳng thức
$$d_ad_bd_c\le\frac{8S^3}{27abc},$$
trong đó $d_a,d_b,d_c$ là khoảng cách từ điểm $M$ đến các cạnh $BC,CA,AB$; $a,b,c$ là độ dài của ba cạnh $BC,CA,AB$ và $S$ là số đo diện tích của tam giác đã cho. Hãy mở rộng bất đẳng thức trên cho trường hợp tứ diện trong không gian.

Tìm số có ba chữ số biết rằng số đó bằng $1.5$ lần tích các giai thừa của ba chữ số của nó (ở đây tích các giai thừa của số $n$ nghĩa là tích $1\cdot2\cdots n$).

Cho mặt phẳng $P$ và hai đường thẳng chéo nhau $d,d'$ cắt $P$ lần lượt ở $A,A'$. Gọi $d''$ là những đường thẳng chuyển động song song với $P$ và tựa lên $d,d'$ ở $M,M'$.

(a) Hãy xác định vị trí của đường thẳng $d''$ sao cho $MM'$ là ngắn nhất.

(b) Cho trước một đường thẳng $d''_0$. Hãy xác định trong những đường thẳng $d''$ đường thẳng $d''_1$ vuông góc với đường thẳng $d''_0$.

Cho $k$ và $n$ là hai số nguyên dương và $x_1,x_2,\ldots,x_k$ là những số dương có tổng bằng $1$. Chứng minh rằng
$$x_1^{-n}+x_2^{-n}+\cdots+x_k^{-n}\ge k^{n+1}.$$