Trong mặt phẳng cho góc $xOy$. Gọi $M,N$ lần lượt là hai điểm nằm trên các tia $Ox,Oy$. Gọi $d$ là đường phân giác góc ngoài của góc $xOy$ và $I$ là giao điểm của trung trực $MN$ với đường thẳng $d$. Gọi $P,Q$ là hai điểm phân biệt nằm trên đường thẳng $d$ sao cho $IM=IN=IP=IQ$; giả sử $K$ là giao điểm của $MQ$ và $NP$.
1. Chứng minh rằng $K$ nằm trên một đường thẳng cố định.
2. Gọi $d_1$ là đường thẳng vuông góc với $IM$ tại $M$ và $d_2$ là đường thẳng vuông góc với $IN$ tại $N$. Giả sử các đường thẳng $d_1,d_2$ cắt đường thẳng $d$ tại $E,F$. Chứng minh rằng các đường thẳng $EN,FM,OK$ đồng quy.
Hãy xác định tất cả các số nguyên dương $m$ sao cho tồn tại các đa thức với hệ số thực $P(x),Q(x),R(x,y)$ thỏa mãn điều kiện: với mọi số thực $a,b$ mà $a^m-b^2=0$, ta luôn có $P(R(a,b))=a$ và $Q(R(a,b))=b$.
Cho số nguyên $n>3$. Kí hiệu $T$ là tập hợp gồm $n$ số nguyên dương đầu tiên. Một tập con $S$ của $T$ được gọi là tập khuyết trong $T$ nếu $S$ có tính chất: tồn tại số nguyên dương $c$ không vượt quá $n/2$ sao cho với $s_1,s_2$ là hai số bất kì thuộc $S$ ta luôn có $|s_1-s_2|\ne c$. Hỏi tập khuyết trong $T$ có thể có tối đa bao nhiêu phần tử?
Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân có $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi $AD,BE,CF$ lần lượt là các đường phân giác trong của tam giác. Trên các đường thẳng $AD,BE,CF$ lần lượt lấy các điểm $L,M,N$ sao cho
$$\frac{AL}{AD}=\frac{BM}{BE}=\frac{CN}{CF}=k$$
($k$ là hằng số dương). Gọi $(O_1),(O_2),(O_3)$ lần lượt là các đường tròn đi qua $L$, tiếp xúc với $OA$ tại $A$; đi qua $M$, tiếp xúc với $OB$ tại $B$ và đi qua $N$, tiếp xúc với $OC$ tại $C$.
1. Chứng minh rằng với $k=\frac12$, ba đường tròn $(O_1),(O_2),(O_3)$ có đúng hai điểm chung và đường thẳng nối hai điểm đó đi qua trọng tâm tam giác $ABC$.
2. Tìm tất cả các giá trị $k$ sao cho ba đường tròn $(O_1),(O_2),(O_3)$ có đúng hai điểm chung.
Kí hiệu $M$ là tập hợp gồm $2008$ số nguyên dương đầu tiên. Tô tất cả các số thuộc $M$ bởi ba màu xanh, vàng, đỏ sao cho mỗi số được tô bởi một màu và mỗi màu đều được dùng để tô ít nhất một số. Xét các tập hợp sau:
$S_1$ gồm các bộ $(x,y,z)\in M^3$ trong đó $x,y,z$ có cùng màu và $x+y+z\equiv0\pmod{2008}$.
$S_2$ gồm các bộ $(x,y,z)\in M^3$ trong đó $x,y,z$ đôi một khác màu và $x+y+z\equiv0\pmod{2008}$.
Chứng minh rằng $2|S_1|>|S_2|$. Kí hiệu $M^3$ là tích Đề-các $M\times M\times M$.
Cho tam giác $ABC$ có góc $BEC$ là góc nhọn, trong đó $E$ là trung điểm của $AB$. Trên tia $EC$ lấy điểm $M$ sao cho $\angle BME=\angle ECA$. Ký hiệu $\alpha$ là số đo của góc $BEC$, hãy tính tỉ số $MC/AB$ theo $\alpha$.
Cho dãy số thực $(x_n)$ được xác định như sau: $x_1=0$, $x_2=2$ và
$$x_{n+2}=2^{-x_n}+\frac12\qquad(n=1,2,3,\ldots).$$
Chứng minh rằng dãy $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn khi $n\to+\infty$. Hãy tìm giới hạn đó.
Cho $x,y,z$ là các số thực không âm, đôi một khác nhau. Chứng minh rằng
$$(xy+yz+zx)\left(\frac1{(x-y)^2}+\frac1{(y-z)^2}+\frac1{(z-x)^2}\right)\ge4.$$
Hỏi đẳng thức xảy ra khi nào?
Cho tam giác $ABC$, trung tuyến $AD$. Cho đường thẳng $d$ vuông góc với đường thẳng $AD$. Xét điểm $M$ nằm trên đường thẳng $d$. Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của $MB,MC$. Đường thẳng đi qua $E$ và vuông góc với đường thẳng $d$ cắt đường thẳng $AB$ tại $P$, đường thẳng đi qua $F$ và vuông góc với đường thẳng $d$ cắt đường thẳng $AC$ tại $Q$. Chứng minh rằng đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với đường thẳng $PQ$ luôn đi qua một điểm cố định, khi $M$ di động trên đường thẳng $d$.