Ngân hàng câu hỏi VMO 1980

Cho các góc $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n$ nằm trong đoạn $[0^\circ,180^\circ]$ sao cho giá trị của $\sum_{k=1}^n(1+\cos\alpha_k)$ là một số nguyên lẻ. Chứng minh rằng $\sum_{k=1}^n\sin\alpha_k\ge1$.

Gọi $T$ là tổng của $k$ số dương $m_1,\ldots,m_k$. Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức (giữ nguyên công thức nguồn):
$$\sum_{k=1}^{n}\left(m_k+\frac1{m_k}\right)^2\ge k\left(\frac{k}{T}+\frac{T}{k}\right)^2.$$
Ghi chú chép đề: nguồn dùng cận trên $n$ và dùng lại $k$ làm chỉ số tổng, dù chỉ định nghĩa $k$ số. Giữ nguyên sự không nhất quán ở trên; lời giải xét rõ cách hiểu tự nhiên là tổng gồm $k$ số hạng.

Cho $P$ là một điểm nằm trong tam giác $A_1A_2A_3$. Đường thẳng $PA_i$ cắt cạnh đối diện tại điểm $B_i$. Gọi $C_i$ là trung điểm của đoạn thẳng $A_iB_i$ và $D_i$ là trung điểm của đoạn thẳng $PB_i$. Hãy so sánh diện tích của hai tam giác $C_1C_2C_3$ và $D_1D_2D_3$.

Chứng minh rằng với mọi hình tứ diện ta đều tìm được trong không gian hai mặt phẳng sao cho tỉ số diện tích của các hình chiếu vuông góc của tứ diện lên hai mặt phẳng đó không nhỏ hơn $\sqrt2$.

Phương trình $z^3-2z^2-2z+m=0$ có thể có ba nghiệm hữu tỉ phân biệt không? Tại sao?

Cho số nguyên $n\gt 1$ và số thực $p\gt 0$. Hãy tìm giá trị cực đại của biểu thức $\sum_{k=1}^{n-1}x_kx_{k+1}$ khi các $x_k$ chạy khắp mọi giá trị thực không âm sao cho $\sum_{k=1}^n x_k=p$.