VN TST 2025

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb Q_{>0}\to\mathbb Q_{>0}$ sao cho, với mọi $x,y\in\mathbb Q_{>0}$,

$$\frac{f(x)f(y)}{f(xy)}=\frac{(\sqrt{f(x)}+\sqrt{f(y)})^2}{f(x+y)}.$$

Điểm từng bài được giữ đúng theo nhãn in trong tài liệu nguồn; không ngụ ý tự động chấm lời chứng minh.

Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân có trực tâm $H$. Gọi $D,E,F$ lần lượt là các điểm đối xứng với $H$ qua $BC,CA,AB$, và gọi $A^{\prime},B^{\prime},C^{\prime}$ lần lượt là các điểm đối xứng với $A,B,C$ cũng qua $BC,CA,AB$. Gọi $S$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ và $H^{\prime}$ là trực tâm tam giác $DEF$. Gọi $J$ là tâm đường tròn đi qua ba hình chiếu của $H$ lên các đường thẳng $B^{\prime} C^{\prime},C^{\prime} A^{\prime},A^{\prime} B^{\prime}$. Chứng minh rằng $HJ\parallel H^{\prime} S$.

Trong một chương trình Trại hè về Toán ứng dụng, có tổng cộng $8m+1$ bạn nam (với $m>5$) và một số bạn nữ. Biết rằng mỗi bạn nữ quen đúng $3$ bạn nam và $2$ bạn nam tùy ý quen chung đúng $1$ bạn nữ. Gọi $n$ là số lớn nhất các bạn nữ có thể chọn trong trại hè mà mỗi bạn nam quen không quá $1$ bạn nữ. Chứng minh rằng $n\ge2m+1$.

Tìm tất cả số nguyên dương $k$ sao cho tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ thỏa mãn $\binom{(2025+k)n}{2025n}$ không chia hết cho $kn+1$.

Cho bảng ô vuông $n\times n$ có các hàng và cột được đánh số từ $1$ đến $n$, còn ô vuông ở hàng $i$, cột $j$ ký hiệu là ô $(i,j)$. Một tập con $A$ các ô vuông của bảng là “tốt” nếu xét hai ô tùy ý $(x_1,y),(x_2,y)$ thuộc $A$ thì các ô $(u,v)$ mà

$$x_1\lt u\le x_2,\quad v\lt y,$$

hoặc

$$x_1\le u\lt x_2,\quad v>y,$$

đều không thuộc $A$. Tìm số tập con tốt nhỏ nhất đôi một rời nhau để mỗi ô của bảng đều thuộc đúng một tập con.

Với số nguyên tố $p=4k+3$, $k\in\mathbb Z_{>0}$, xét đa thức

$$\begin{aligned}Q(x)={}&px^{2p}-x^{2p-1}+p^2x^{(3p+1)/2}-px^{p+1}\\&+2(p^2+1)x^p-px^{p-1}\\&+p^2x^{(p-1)/2}-x+p.\end{aligned}$$

Tìm tất cả các cặp đa thức hệ số nguyên có thứ tự $f(x),g(x)$ sao cho $Q(x)=f(x)g(x)$.