Gọi $\alpha$ là góc biến thiên tùy ý và $x=\cos\alpha$, $y=\cos n\alpha$.
(a) Chứng minh rằng ứng với mỗi giá trị của $x$ trong khoảng $-1\le x\le1$ ta có một và chỉ một giá trị xác định của $y$. Coi $y$ như một hàm số của $x$, ký hiệu $y=T_n(x)$. Hãy tính $T_1(x),T_2(x)$ và chứng minh
$$T_{n+1}(x)=2xT_n(x)-T_{n-1}(x).$$
Từ đó suy ra $T_n(x)$ là một đa thức bậc $n$.
(b) Chứng minh rằng đa thức $T_n(x)$ có $n$ nghiệm thực phân biệt trong đoạn $[-1,1]$.
Cho số nguyên dương $N$. Xét tất cả các ước số lẻ dương $n$ của $N$ và lấy tổng các số $(-1)^{(n-1)/2}$; gọi tổng đó là $f(N)$.
(a) Chứng minh rằng nếu $r$ là một số nguyên, $p$ là số nguyên tố thì $f(2)=1$, $f(2^r)=1$ và $f(p)=2$ nếu $p=4k+1$, còn $f(p)=0$ nếu $p=4k-1$. Đồng thời
$$f(p^r)=\begin{cases}1+r,&p=4k+1,\\1,&p=4k-1,\ r\equiv0\pmod2,\\0,&p=4k-1,\ r\equiv1\pmod2.\end{cases}$$
(b) Chứng minh $f$ là hàm nhân tính: nếu $M,N$ nguyên dương, $\gcd(M,N)=1$ thì $f(MN)=f(M)f(N)$. Tính $f(5^4\cdot11^{28}\cdot17^{19})$, $f(1980)$ và nêu luật chung để tính $f(N)$.
Cho tam giác $ABC$ và đường thẳng $d$ đi qua $A$, không song song với $BC$.
(a) Dựng hình bình hành $CEFG$ sao cho $E,F,G$ lần lượt nằm trên các đường thẳng $d,AB,BC$ và $CE$ song song với trung tuyến $AI$. Sau đó dựng hình bình hành $EAKH$ sao cho $K,H$ lần lượt nằm trên $AB,BC$. Gọi $U=BC\cap d$ và lấy $V$ trên $d$ đối xứng với $U$ qua $A$. Chứng minh $V,I,FG\cap KH$ thẳng hàng, đồng thời thẳng hàng với hai đỉnh $B',C'$ của hình bình hành $BB'CC'$ nhận $B,C$ làm hai đỉnh đối diện, các cạnh theo thứ tự song song với $d,AI$.
(b) Xét cặp đường thẳng $FG,KH$ cắt ba đường thẳng $BC,CA,AB$ ở ba cặp điểm được sắp xếp như thế nào đó. Từ đó phát biểu một định lý tổng quát. Nếu cho trước điểm $O$ trong mặt phẳng $ABC$, qua $O$ có thể dựng được hai đường thẳng $FG,KH$ hay không?
Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a$. Trên đoạn $AB$ lấy $E,E'$ sao cho $AE=a/6$, $AE'=5a/6$; trên đoạn $AC$ lấy $F,F'$ sao cho $AF=a/4$, $AF'=3a/4$; trên đoạn $AD$ lấy $G,G'$ sao cho $AG=a/3$, $AG'=2a/3$.
(a) Trên mặt phẳng $BCD$, xác định hai giao tuyến của mặt phẳng này với hai mặt phẳng $EFG$, $E'F'G'$. Nghiên cứu vị trí tương đối của hai giao tuyến đối với tam giác $BCD$. Từ đó phát biểu một định lý tổng quát.
(b) Tính thể tích khối $EFGE'F'G'$ theo $a$ và tính góc mà “hai mặt phẳng $EFG$” làm với các đường thẳng $AB,AC,AD$. [Giữ cụm từ in trong nguồn; nguồn chỉ ghi tên $EFG$.]