Cho dãy số $(a_n)$ được xác định bởi $a_1=1$ và, với mọi số nguyên $n\ge1$,
$$a_{2n}=a_n,\qquad a_{2n+1}=a_n+1.$$
a) Tìm tất cả số nguyên dương $n$ sao cho $a_{kn}=a_n$ với mọi số nguyên dương $k\le n$.
b) Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương $m$ mà $a_{km}\ge a_m$ với mọi số nguyên dương $k$.
Thời lượng luyện tập cả năm là 540 phút, bằng tổng hai ngày thi, mỗi ngày 270 phút theo tài liệu nguồn. Điểm từng bài được giữ đúng theo nhãn in trong tài liệu nguồn; không ngụ ý tự động chấm lời chứng minh. Hệ số chấm của bộ nhập: đúng 1, sai 0, bỏ trống 0.
Cho bảng ô vuông $2021\times2021$. Tìm giá trị lớn nhất của $k$ sao cho có thể đánh dấu $k$ ô của bảng mà mỗi ô trong $k$ ô đó chỉ có chung đỉnh với tối đa một ô được đánh dấu khác.
Cho tam giác $ABC$ và điểm $N$ không trùng với các điểm $A,B,C$. Gọi $A_b$ là điểm đối xứng với $A$ qua đường thẳng $NB$, còn $B_a$ là điểm đối xứng với $B$ qua đường thẳng $NA$. Xác định tương tự hai cặp điểm còn lại $B_c,C_b$ và $C_a,A_c$. Đường thẳng $m_a$ qua $N$ và vuông góc với $B_cC_b$. Xác định tương tự $m_b,m_c$.
a) Giả sử $N$ là trực tâm tam giác $ABC$, chứng minh rằng ba đường thẳng đối xứng với các đường $m_a,m_b,m_c$ lần lượt qua phân giác góc $\angle BNC,\angle CNA,\angle ANB$ thì trùng nhau.
b) Giả sử $N$ là tâm đường tròn Euler của tam giác $ABC$, chứng minh rằng ba đường thẳng đối xứng với $m_a,m_b,m_c$ lần lượt qua $BC,CA,AB$ thì đồng quy tại một điểm.
Cho đường tròn $(O)$ và dây cung $BC$ cố định, điểm $A$ di động trên $(O)$ sao cho $ABC$ nhọn, không cân. Gọi $I$ là trung điểm $BC$ và kẻ các đường cao $AD,BE,CF$ của tam giác $ABC$. Trên các tia $FA,EA$ lấy các điểm $M,N$ sao cho $FM=CE$, $FN = BF$. Giả sử $MN$ cắt $EF$ tại $L$ và $(LEN)$ cắt lại $(LFM)$ tại $G$.
a) Chứng minh rằng đường tròn $(MNG)$ luôn đi qua điểm cố định.
b) Giả sử $AD$ cắt lại $(O)$ tại $K$. Trên tiếp tuyến qua $D$ của $(DKI)$, lấy các điểm $P,Q$ sao cho $GP\parallel AB$, $GQ\parallel AC$. Gọi $T$ là tâm của đường tròn $(GPQ)$. Chứng minh rằng đường thẳng $GT$ luôn đi qua điểm cố định.
Bản quét được cung cấp ghi FN = BF. Tuyển tập tham khảo bên ngoài ghi EN = BF. Lời giải tham khảo sau đây chỉ áp dụng cho phiên bản đã sửa thành EN = BF; đây không phải lời chứng minh cho phát biểu nguyên văn FN = BF.
Phát biểu tham khảo đã sửa (tuyển tập):
Cho đường tròn $(O)$ và dây cung $BC$ cố định, điểm $A$ di động trên $(O)$ sao cho $ABC$ nhọn, không cân. Gọi $I$ là trung điểm $BC$ và kẻ các đường cao $AD,BE,CF$ của tam giác $ABC$. Trên các tia $FA,EA$ lấy các điểm $M,N$ sao cho $FM=CE$, $EN = BF$. Giả sử $MN$ cắt $EF$ tại $L$ và $(LEN)$ cắt lại $(LFM)$ tại $G$.
a) Chứng minh rằng đường tròn $(MNG)$ luôn đi qua điểm cố định.
b) Giả sử $AD$ cắt lại $(O)$ tại $K$. Trên tiếp tuyến qua $D$ của $(DKI)$, lấy các điểm $P,Q$ sao cho $GP\parallel AB$, $GQ\parallel AC$. Gọi $T$ là tâm của đường tròn $(GPQ)$. Chứng minh rằng đường thẳng $GT$ luôn đi qua điểm cố định.
Cho số nguyên dương $n\ge3$ và số nguyên tố $p$ thỏa mãn $p>6^{n-1}-2^n+1$. Xét tập hợp $S$ gồm $n$ số nguyên dương có số dư đôi một khác nhau khi chia cho $p$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $c$ sao cho có đúng hai bộ số có thứ tự $(x,y,z)\in S^3$, có các thành phần phân biệt, mà
$$x-y+z\equiv c\pmod p.$$