Ngân hàng câu hỏi VMO 1967

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
$$y=\frac13|x^3-x^2-2x|-|x+1|.$$

Cho hai bờ sông là hai đường thẳng song song nằm ngang. Dòng nước chảy song song với bờ từ trái sang phải với vận tốc là $u$. Một chiếc phà có vận tốc riêng không đổi là $v$, xuất phát từ điểm $O$ của bờ dưới lấy làm trục $Ox$ chở xe sang bờ kia.
(a) Biết rằng đường đi thực tế của phà làm một góc $\alpha$ với $Ox$, hỏi rằng vận tốc thực tế $\vec V$ của phà là bao nhiêu? Biện luận.
(b) Phải chọn góc $\alpha$ là bao nhiêu để thời gian đi là ít nhất?

Cho một đường tròn $(L)$ có tâm là $O$ nội tiếp trong một hình thoi $ABCD$. Một tiếp tuyến biến thiên của đường tròn $(L)$ cắt các đường thẳng $AB,AD,BC,CD$ theo thứ tự ở các điểm $M,N,P,Q$.
(a) Hãy đoán nhận hệ thức giữa hai đoạn thẳng $BM$ và $DN$; chứng minh hệ thức đó. Trên hình vẽ còn có những hệ thức nào đáng chú ý (phát hiện được càng nhiều càng tốt).
(b) Bốn đường tròn cùng đi qua điểm $O$ và theo thứ tự có tâm là $A,B,C,D$ cắt bốn đoạn thẳng $AB,BC,CD,DA$ ở tám điểm. Hãy xét xem hình tám cạnh lồi nhận tám điểm đó làm đỉnh có tính chất gì đặc biệt, chứng minh các tính chất đó. Sử dụng vào việc dựng hình tám cạnh đều.
(c) Hãy phát biểu một bài toán trong không gian bằng cách cho hình vẽ của bài toán trên đây quay quanh trục $AC$.