Cho tứ giác lồi $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm $O$, bán kính $R$, không có cặp cạnh đối nào song song. Gọi $E=AC\cap BD$. Đường phân giác trong của $\angle AEB$ cắt các đường thẳng $AB,BC,CD,DA$ lần lượt tại $M,N,P,Q$.
1. Chứng minh $(AQM),(BMN),(CNP),(DPQ)$ có đúng một điểm chung $K$.
2. Đặt $m=\min\{AC,BD\}$. Chứng minh
$$OK\le\frac{2R^2}{\sqrt{4R^2-m^2}}.$$
1. Chứng minh tồn tại vô số số nguyên dương $t$ sao cho $2012t+1$ và $2013t+1$ đều là số chính phương.
2. Cho các số nguyên dương $m,n$ sao cho $mn+1$ và $(m+1)n+1$ đều là số chính phương. Chứng minh $n$ chia hết cho $8(2m+1)$.
Với số nguyên dương $n$, đặt $S_n=\{0,1,\ldots,2n+1\}$. Gọi $F$ là tập các hàm $f:\mathbb Z\times S_n\to[0,1]$ thỏa mãn:
(i) $f(x,0)=f(x,2n+1)=0$ với mọi số nguyên $x$;
(ii) $f(x-1,y)+f(x+1,y)+f(x,y-1)+f(x,y+1)=1$ với $x$ nguyên và $1\le y\le2n$.
1. Chứng minh $F$ vô hạn.
2. Với $f\in F$, gọi $v_f$ là tập ảnh của $f$. Chứng minh $v_f$ hữu hạn.
3. Tìm giá trị lớn nhất của $|v_f|$.
Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, $\angle A=45^\circ$. Các đường cao $AD,BE,CF$ đồng quy tại $H$. Đặt $P=EF\cap BC$, $I$ là trung điểm $BC$, $Q=IF\cap PH$.
1. Chứng minh $\angle IQH=\angle AIE$.
2. Gọi $K$ là trực tâm tam giác $AEF$ và $(J)$ là đường tròn ngoại tiếp $KPD$, tâm $J$. Gọi $G\ne K$ là giao điểm thứ hai của $CK$ với $(J)$, $M\ne G$ là giao điểm thứ hai của $IG$ với $(J)$, $N\ne C$ là giao điểm thứ hai của $JC$ với đường tròn đường kính $BC$. Chứng minh $G,M,N,C$ đồng viên.
Các điều kiện giao điểm thứ hai được bổ sung để diễn đạt rõ phép dựng mà nguồn sử dụng.
Một khối lập phương $10\times10\times10$ gồm 1000 khối lập phương đơn vị màu trắng. An và Bình chơi một trò chơi. An chọn một số dải $1\times1\times10$ sao cho hai dải bất kì không có chung đỉnh hoặc cạnh, rồi đổi tất cả các ô trong các dải thành màu đen. Bình chọn một số ô rồi hỏi An màu của các ô ấy. Bình phải chọn ít nhất bao nhiêu ô để, với mọi câu trả lời của An, luôn xác định được chính xác những ô nào màu đen?
Cách hiểu: các dải là những hàng đầy đủ song song với ba trục của lưới; Bình chọn toàn bộ tập ô cần hỏi trước khi nhận câu trả lời, như lời giải nguồn. Cụm “ô vuông đơn vị” trong đề ba chiều được hiểu là khối lập phương đơn vị.
Giải hệ với $x,y\in\mathbb R$:
$$\begin{cases}\sqrt{\sin^2x+\dfrac1{\sin^2x}}+\sqrt{\cos^2y+\dfrac1{\cos^2y}}=\sqrt{\dfrac{20y}{x+y}},\\[4pt]\sqrt{\sin^2y+\dfrac1{\sin^2y}}+\sqrt{\cos^2x+\dfrac1{\cos^2x}}=\sqrt{\dfrac{20x}{x+y}}.\end{cases}$$
Cho tam giác không cân $ABC$, đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. Đường qua $E$ vuông góc $BI$ cắt $(I)$ lần nữa tại $K\ne E$; đường qua $F$ vuông góc $CI$ cắt $(I)$ lần nữa tại $L\ne F$. Gọi $J$ là trung điểm $KL$.
(a) Chứng minh $D,I,J$ thẳng hàng.
(b) Cố định $B,C$, cho $A$ thay đổi với $AB/AC=k$ không đổi. Gọi $M\ne E,N\ne F$ là giao điểm thứ hai của $IE,IF$ với $(I)$. Đặt $P=MN\cap IB$, $Q=MN\cap IC$. Chứng minh trung trực $PQ$ luôn qua một điểm cố định.
Cho trước một số số tự nhiên viết trên một đường thẳng. Mỗi bước xác định tất cả cặp số kề nhau theo thứ tự trái sang phải, rồi điền giữa mỗi cặp tổng hai số ấy. Sau 2013 bước, số 2013 xuất hiện bao nhiêu lần nếu ban đầu:
(a) có $1,1000$;
(b) có $1,2,\ldots,1000$ theo thứ tự tăng dần?
Tìm mọi hàm $f:\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa $f(0)=0$, $f(1)=2013$ và với mọi $x,y\in\mathbb R$,
$$(x-y)\bigl(f(f^2(x))-f(f^2(y))\bigr)$$
$$=(f(x)-f(y))\bigl(f^2(x)-f^2(y)\bigr),$$
trong đó $f^2(x)=(f(x))^2$.
Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp $(O)$ và $D$ thuộc cung $BC$ không chứa $A$. Đường thẳng thay đổi $\Delta$ qua trực tâm $H$ cắt các đường tròn ngoại tiếp $ABH$, $ACH$ lần nữa tại $M\ne H,N\ne H$.
(a) Xác định $\Delta$ để diện tích $AMN$ lớn nhất.
(b) Gọi $d_1$ qua $M$ vuông góc $DB$, $d_2$ qua $N$ vuông góc $DC$. Chứng minh giao điểm $P$ của chúng thuộc một đường tròn cố định.
Tìm số các bộ sáu có thứ tự $(a,b,c,a',b',c')$, mọi số thuộc $\{0,1,\ldots,14\}$, thỏa
$$\begin{cases}ab+a'b'\equiv1\pmod{15},\\ac+a'c'\equiv1\pmod{15},\\bc+b'c'\equiv1\pmod{15}.\end{cases}$$
