Trong mặt phẳng, hai đường tròn $(C_1),(C_2)$ cắt nhau tại hai điểm $P$ và $Q$. Tiếp tuyến chung của hai đường tròn gần $P$ hơn $Q$ tiếp xúc với $(C_1)$ tại $A$ và tiếp xúc với $(C_2)$ tại $B$. Các tiếp tuyến của $(C_1),(C_2)$ kẻ từ $P$ cắt đường tròn kia lần lượt tại $E$ và $F$, ($E,F$ khác $P$). Gọi $H,K$ lần lượt là các điểm nằm trên các đường thẳng $AF,BE$ sao cho $AH=AP$ và $BK=BP$. Chứng minh rằng năm điểm $A,H,Q,K,B$ cùng thuộc một đường tròn.
Cảnh báo biên tập: trên cả đường thẳng có hai điểm cách gốc một khoảng dương cho trước. Phát biểu in chưa chọn các điểm mà chứng minh nguồn cần. Lời giải phân tích hạn chế này, không âm thầm đổi đề.
Cho số nguyên dương $k$. Dãy số $(x_n)$, $n=1,2,3,\ldots$ được xác định như sau: i) $x_1=1$. ii) Với mỗi số nguyên dương $n\ge1$ thì $x_{n+1}$ là số nguyên dương bé nhất không thuộc tập hợp $\{x_1;x_2;x_3;\ldots;x_n;x_1+k;x_2+2k;x_3+3k;x_n+nk\}$. Chứng minh rằng tồn tại số thực $a$ sao cho $x_n=\lfloor na\rfloor$ với mọi $n\in\mathbb N^*$.
Lưu ý ký hiệu: danh sách in thiếu dấu tiếp diễn giữa hai số hạng dịch cuối. Lời giải nguồn dùng tất cả các số $x_i+ik$, $1\le i\le n$; dưới đây theo quy ước ấy.
Cho số nguyên dương $n$, $n\ge2$. Xét đa thức $1+\square x+\square x^2+\cdots+\square x^{2000}$ (có tất cả 2000 ô trống). Hai người A và B chơi trò chơi như sau: đầu tiên A điền một số thực vào một ô trống, tiếp theo B điền một số thực vào một trong các ô trống còn lại, A lại điền một số thực vào một trong các ô trống còn lại, cứ tiếp tục cho đến khi tất cả các ô trống đã được điền. Kí hiệu đa thức nhận được là $P(x)=1+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_{2000}x^{2000}$. Người chơi lần cuối cùng bị coi là thua nếu đa thức $P(x)$ có ít nhất một nghiệm thực $\alpha$ sao cho $|\alpha|\lt 1$ và sẽ thắng nếu ngược lại. Chứng minh rằng có một trong hai người nói trên có cách chơi để đảm bảo thắng.
Lưu ý biên tập: tham số $n$ xuất hiện trong nguồn nhưng không được dùng; trò chơi có đúng 2000 ô.
Cho ba số nguyên dương $a,b,c$ đôi một nguyên tố cùng nhau. Số nguyên dương $n$ được gọi là “số bướng bỉnh” nếu không biểu diễn được dưới dạng $n=abx+bcy+caz$, trong đó $x,y,z$ là các số nguyên dương. Hỏi có tất cả bao nhiêu số bướng bỉnh?
Cho các số thực $a,s$ với $s\gt 1$ và hàm số $f:(0,+\infty)\to\mathbb R$. (1) Giả sử $a\gt 1$. Chứng minh rằng nếu đồng thời (i) $f(x)^2\le ax^s f(x/a)$ với mọi $x\gt 0$ và (ii) $f(x)\lt 2^{2000}$ với mọi $0\lt x\lt 2^{-2000}$ thì $f(x)\le x^s a^{1-s}$ với mọi $x\gt 0$. (2) Giả sử $a\gt 2$. Tìm một hàm số thỏa mãn điều kiện (i) nhưng $f(x)\gt x^s a^{1-s}$ với mọi $x\gt 0$.
Xét $2000$ đường tròn bán kính $r=1$ trên mặt phẳng sao cho không có hai đường tròn nào tiếp xúc với nhau và mỗi đường tròn cắt ít nhất hai đường tròn khác. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của số giao điểm phân biệt của các đường tròn này.
Xác định một dãy các số thực dương $x_0,x_1,x_2,\ldots$ bởi
$$x_0=b,\qquad x_{n+1}=\sqrt{c-\sqrt{c+x_n}}.$$
Hãy xác định tất cả các giá trị của $c$ thỏa mãn đối với mọi $b$ trong khoảng $(0,c)$ sao cho dãy là tồn tại và hội tụ đến một giới hạn khi $n$ tiến ra vô cùng.
Cho hai đường tròn $C,C'$ có các tâm là $O,O'$ tương ứng sao cho các đường thẳng $OX$ và $O'X'$ cắt nhau. $M$ và $M'$ là các điểm thay đổi trên $C$ và $C'$ tương ứng sao cho $\angle XOM=\angle X'O'M'$ (theo hướng ngược kim đồng hồ). Hãy xác định quỹ tích trung điểm của đoạn thẳng $MM'$. Giả sử rằng $OM$ và $O'M'$ cắt nhau ở $Q$. Chứng minh rằng đường tròn của $QMM'$ luôn đi qua một điểm cố định.
Cho $p(x)=x^3+153x^2-111x+38$. Chứng minh rằng $p(n)$ chia hết cho $3^{2000}$ với ít nhất chín số nguyên dương $n$ mà bé hơn $3^{2000}$. Hỏi rằng có bao nhiêu số $n$ như thế?
Cho một góc $\alpha$ thỏa mãn $0\lt \alpha\lt \pi$. Chứng minh rằng có duy nhất một tam thức bậc hai $x^2+ax+b$ là nhân tử của
$$p_n(x)=\sin\alpha\,x^n-\sin(n\alpha)x+\sin(n\alpha-\alpha)$$
với $n\gt 2$. Chứng minh rằng không có một đa thức tuyến tính $x+c$ nào mà chia hết $p_n(x)$ với mọi $n\gt 2$.
Hãy xác định tất cả $n\gt 3$ thỏa mãn chúng ta có thể tìm được $n$ điểm trong không gian sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng và không có bốn điểm nào cùng nằm trên đường tròn và các đường tròn qua ba điểm bất kì là có cùng bán kính.