Ngân hàng câu hỏi VMO 1975

Không giải phương trình $x^3-x+1=0$ hãy xác định tổng của các lũy thừa bậc tám của các nghiệm số của nó.

Giải phương trình sau đây
$$\frac{y^3+m^3}{(y+m)^3}+\frac{y^3+n^3}{(y+n)^3}+\frac{y^3+p^3}{(y+p)^3}-\frac32+\frac32\cdot\frac{y-m}{y+m}\cdot\frac{y-n}{y+n}\cdot\frac{y-p}{y+p}=0.$$

Cho tứ diện $ABCD$ có $BA$ vuông góc với $AC$ và $DB$ vuông góc với mặt phẳng $BAC$. Gọi $O$ là điểm giữa của $AB$, ta hãy hạ $OK$ vuông góc với $DC$. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tỉ số các thể tích
$$\frac{V_{KOAC}}{V_{KOBD}}=\frac{AC}{BD}$$
là $2AC\cdot BD=AB^2$.

Cho cấp số cộng $-1,18,37,\ldots$, tìm số hạng của cấp số mà khi viết toàn dùng chữ số 5.

Chứng minh rằng tổng các giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số
$$y=\frac{\operatorname{cotg}^3 x}{\operatorname{cotg}3x}$$
trên $(0;\pi/2)$ là một số hữu tỷ.

Trong không gian cho một đường thẳng cố định $\Delta$ và một điểm $A$ cố định nằm ngoài $\Delta$. Một đường thẳng $d$ biến thiên quay xung quanh điểm $A$. Gọi $MN$ là đường thẳng vuông góc chung của $d$ và $\Delta$ ($M$ trên $d$ và $N$ trên $\Delta$). Hãy tìm quỹ tích của điểm $M$ và quỹ tích trung điểm của đoạn thẳng $MN$.