Ngân hàng câu hỏi VMO 1962

Chứng minh rằng với mọi số dương $a,b,c,d$ ta có bất đẳng thức
$$\frac{1}{\frac1a+\frac1b}+\frac{1}{\frac1c+\frac1d}\le\frac{1}{\frac1{a+c}+\frac1{b+d}}.$$

Hãy xác định đạo hàm bậc nhất tương ứng với giá trị $x=1$ của hàm số
$$f(x)=(1+x)\cdot\sqrt{2+x^2}\cdot\sqrt[3]{3+x^3}.$$

Cho một tứ diện $ABCD$ và $A',B'$ là những hình chiếu của các đỉnh $A,B$ lên các mặt đối diện. Chứng minh rằng $AA'$ và $BB'$ cắt nhau khi và chỉ khi hai đường thẳng $AB$ và $CD$ vuông góc với nhau. Nếu $AC=AD=BC=BD$ thì hai đường thẳng $AA'$ và $BB'$ có cắt nhau không?

Đường cao của một hình chóp tứ giác đều bằng $h$. Mặt bên tạo với đáy một góc $\alpha$. Qua cạnh đáy ta dựng một thiết diện vuông góc với mặt đối diện. Tính thể tích của hình chóp tạo thành và biện luận công thức tìm được.

Giải phương trình sau đây với ẩn số thực $x$:
$$\sin^6x+\cos^6x=\frac14.$$