Điểm từng bài được giữ đúng theo nhãn in trong tài liệu nguồn; không ngụ ý tự động chấm lời chứng minh.
Thời lượng luyện tập cả năm là 540 phút, bằng tổng hai ngày thi, mỗi ngày 270 phút theo tài liệu nguồn.
Với số nguyên dương $k$, tập hợp $S$ gồm các số nguyên dương được gọi là tập hợp $k$-Olympic nếu thỏa mãn đồng thời:
(i) $S\ne\varnothing$;
(ii) với mọi $n\in S$, mọi ước nguyên dương của $(25^n-3^n)k^n$ cũng thuộc $S$.
Tìm tất cả các số nguyên dương $k$ sao cho có duy nhất một tập $k$-Olympic như vậy.
Cho $n$ nguyên dương và trong một quốc gia có $8n+3$ sân bay. Với hai sân bay thì giữa chúng sẽ có đường bay trực tiếp hoặc không. Biết rằng nếu giữa hai sân bay không có đường bay trực tiếp thì số lượng đường bay trực tiếp của hai sân bay đó chênh lệch nhau đúng bằng $2$. Xác định số đường bay trực tiếp ít nhất.
Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân có các đường cao $AD,BE,CF$. Từ đỉnh $A$, kẻ các hình chiếu vuông góc xuống các đường thẳng $EF,FD,DE$, ký hiệu là $X,Y,Z$. Cho đường thẳng $BZ$ cắt lại $(BDY)$ ở $P$, cho $CY$ cắt lại $(CDZ)$ ở $Q$. Chứng minh rằng điểm $X$ có cùng phương tích đến hai đường tròn $(YFP),(ZEQ)$.
Cho tam giác $ABC$ có $O$ là trung điểm $BC$. Kẻ các tiếp tuyến $AE,AF$ của đường tròn $(O)$ đường kính $BC$, trong đó $E,F\in(O)$. Các tia $AE,AF$ cắt $BC$ theo thứ tự ở các điểm $K,L$. Cho $KF,LE$ cắt $(O)$ lần lượt ở các điểm $M,N$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $MON$ cắt lại các đường tròn đường kính $AB,AC$ theo thứ tự ở $X,Y$. Chứng minh rằng $\angle XAB=\angle YAC$.
Cho các số nguyên dương $k,n$ và $k\lt n$. Tìm tất cả các đa thức hệ số thực $P$ bậc $kn$, có hệ số bậc cao nhất bằng $1$ và thỏa mãn đa thức
$$Q(x)=P(x^n+1)-(P(x))^n$$
có bậc không quá $kn(n-1)$.
Gọi $\mathcal H$ là họ các tập con khác rỗng của tập hợp $\{1,2,3,\ldots,2027\}$ và có tính chất sau: với mọi tập hợp $A\in\mathcal H$ và với mọi tập con $B\subset A$, ta đều có $B\in\mathcal H$. Gọi $\ell_{\mathcal H},c_{\mathcal H}$ lần lượt là số tập con trong $\mathcal H$ mà có chẵn phần tử, có lẻ phần tử. Chứng minh rằng
$$\ell_{\mathcal H}-c_{\mathcal H}\le\binom{2026}{1013}.$$