Ngân hàng câu hỏi VMO 1977

Giải bất phương trình
$$\sqrt{x-\frac1x}-\sqrt{1-\frac1x}\gt \frac{x-1}{x}.$$

Chứng minh rằng tồn tại 1977 tam giác mà các góc $A,B,C$ của nó thỏa mãn hệ thức
$$\frac{\sin A+\sin B+\sin C}{\cos A+\cos B+\cos C}=\frac{12}{7},\qquad \sin A\sin B\sin C=\frac{12}{25}.$$

Hỏi rằng $n$ đường tròn chia mặt phẳng ra làm bao nhiêu phần nếu bất cứ cặp hai đường tròn nào cũng cắt nhau tại hai điểm phân biệt và không có ba đường tròn nào có giao điểm chung.

Tìm điều kiện cần và đủ để hàm số $f(t)=mt^3+nt^2+pt+q$ có giá trị nguyên với mọi giá trị của $t$.

Cho $a_0,a_1,\ldots,a_n,a_{n+1}$ là một dãy hữu hạn các số thực thỏa mãn các điều kiện $a_0=a_{n+1}=0$ và
$$|a_{k-1}-2a_k+a_{k+1}|\le1.$$
Chứng minh rằng
$$a_k\le\frac{k(n+1-k)}2$$
với mọi $k=0,1,\ldots,n+1$.

Cho đa giác $(P)$ có $m$ cạnh và đa giác $(P')$ có $n$ cạnh lần lượt nằm trong hai mặt phẳng song song với nhau. Xét họ những đoạn thẳng $AA'$ với $A$ và $A'$ tương ứng nằm trên cạnh của hai đa giác $(P)$ và $(P')$. Hãy nói rõ cách tìm:
(a) Đoạn thẳng $AA'$ ngắn nhất.
(b) Đoạn thẳng $AA'$ dài nhất.