Xét dãy $(a_n)$ thỏa mãn
$$a_1=\frac12,\qquad a_{n+1}=\sqrt[3]{3a_{n+1}-a_n},\qquad0\le a_n\le1\quad(n\ge1).$$
a) Chứng minh rằng dãy $(a_n)$ xác định duy nhất và có giới hạn hữu hạn.
b) Cho dãy $(b_n)$ xác định bởi $b_n=(1+2a_1)(1+2^2a_2)\cdots(1+2^na_n)$ với mọi $n\ge1$. Chứng minh rằng $(b_n)$ có giới hạn hữu hạn.
Cho các số nguyên $a,b,c,\alpha,\beta$ và dãy $(u_n)$ xác định bởi
$$u_1=\alpha,\quad u_2=\beta,\quad u_{n+2}=au_{n+1}+bu_n+c\quad(n\ge1).$$
a) Chứng minh rằng nếu $a=3,b=-2,c=-1$ thì có vô số cặp số nguyên $(\alpha,\beta)$ để $u_{2023}=2^{2022}$.
b) Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $n_0$ sao cho duy nhất một trong hai khẳng định sau đúng:
i) Có vô số số nguyên dương $m$ để $u_{n_0}u_{n_0+1}\cdots u_{n_0+m}$ chia hết cho $7^{2023}$ hoặc $17^{2023}$.
ii) Có vô số số nguyên dương $k$ để $u_{n_0}u_{n_0+1}\cdots u_{n_0+k}-1$ chia hết cho 2023.
Tìm số thực dương $k$ lớn nhất sao cho
$$\frac1{kab+c^2}+\frac1{kbc+a^2}+\frac1{kca+b^2}\ge\frac{k+3}{a^2+b^2+c^2}$$
đúng với mọi bộ ba số thực dương $(a,b,c)$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=2(ab+bc+ca)$.
Cho tứ giác $ABCD$ có $DB=DC$ và nội tiếp một đường tròn. Gọi $M,N$ tương ứng là trung điểm của $AB,AC$ và $J,E,F$ tương ứng là các tiếp điểm của đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác $ABC$ với $BC,CA,AB$. Đường thẳng $MN$ cắt $JE,JF$ lần lượt tại $K,H$; $IJ$ cắt lại đường tròn $(IBC)$ tại $G$ và $DG$ cắt lại $(IBC)$ tại $T$.
a) Chứng minh rằng $JA$ đi qua trung điểm của $HK$ và vuông góc với $IT$.
b) Gọi $R,S$ tương ứng là hình chiếu vuông góc của $D$ trên $AB,AC$. Lấy $P,Q$ lần lượt trên $IF,IE$ sao cho $KP,HQ$ đều vuông góc với $MN$. Chứng minh rằng $MP,NQ,RS$ đồng quy.
Xét các hàm số $f,g:\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa mãn $f(0)=2022$ và
$$f(x+g(y))=xf(y)+(2023-y)f(x)+g(x)\quad(x,y\in\mathbb R).$$
a) Chứng minh rằng $f$ là một toàn ánh và $g$ là một đơn ánh.
b) Tìm tất cả các hàm số $f,g$ thỏa mãn điều kiện bài toán.
Có $n\ge2$ lớp học tổ chức $m\ge1$ tổ ngoại khóa cho học sinh. Lớp nào cũng có học sinh tham gia ít nhất một tổ. Mỗi tổ đều có đúng $a$ lớp có học sinh tham gia. Với hai tổ bất kỳ, có không quá $b$ lớp có học sinh tham gia đồng thời cả hai tổ này.
a) Tìm $m$ khi $n=8,a=4,b=1$.
b) Chứng minh rằng $n\ge20$ khi $m=6,a=10,b=4$.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của $n$ khi $m=20,a=4,b=1$.
Cho tam giác nhọn, không cân $ABC$ có trực tâm $H$ và tâm đường tròn ngoại tiếp $O$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với $BC,CA,AB$ tương ứng tại $M,N,P$. Gọi $\Omega_A$ là đường tròn đi qua $A$, tiếp xúc ngoài với $(I)$ tại $A'$ và cắt lại $AB,AC$ tương ứng tại $A_b,A_c$. Các đường tròn $\Omega_B,\Omega_C$ và các điểm $B',B_a,B_c,C',C_a,C_b$ được xác định tương tự.
a) Chứng minh rằng
$$B_cC_b+C_aA_c+A_bB_a\ge NP+PM+MN.$$
b) Xét trường hợp $A',B',C'$ tương ứng thuộc các đường thẳng $AM,BN,CP$. Gọi $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác có ba cạnh tương ứng thuộc ba đường thẳng $A_bA_c,B_cB_a,C_aC_b$. Chứng minh rằng $OH\parallel IK$.