Cho tứ diện $ABCD$ với $BC=a$, $CA=b$, $AB=c$, $DA=a_1$, $DB=b_1$, $DC=c_1$. Chứng minh rằng có điểm $P$ duy nhất thỏa mãn
$$PA^2+a_1^2+b^2+c^2=PB^2+b_1^2+c^2+a^2=PC^2+c_1^2+a^2+b^2=PD^2+a_1^2+b_1^2+c_1^2.$$
Với điểm $P$ đó, chứng minh $PA^2+PB^2+PC^2+PD^2\ge4R^2$, trong đó $R$ là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. Tìm điều kiện cần và đủ đối với độ dài các cạnh để xảy ra dấu bằng.
Nguồn được cung cấp không ghi điểm từng bài. Mỗi bài dùng 1 điểm biên tập để tương thích khi nhập; đây không phải thang điểm chính thức.
Một nước có $25$ thành phố. Xác định số nguyên $k$ nhỏ nhất sao cho có thể thiết lập các đường bay trực tiếp hai chiều thỏa mãn đồng thời:
1. Mỗi thành phố có đường bay trực tiếp đến đúng $k$ thành phố khác.
2. Nếu hai thành phố không có đường bay trực tiếp thì có ít nhất một thành phố có đường bay trực tiếp đến cả hai.
Nguồn được cung cấp không ghi điểm từng bài. Mỗi bài dùng 1 điểm biên tập để tương thích khi nhập; đây không phải thang điểm chính thức.
Tìm số thực $\alpha$ lớn nhất sao cho tồn tại dãy vô hạn các số tự nhiên $(a_n)_{n\ge1}$ thỏa mãn đồng thời:
1. $a_n>1997^n$ với mọi số nguyên dương $n$.
2. Với mỗi $n\ge2$, có $u_n\ge a_n^\alpha$, trong đó $u_n$ là ước chung lớn nhất của tất cả các số $a_i+a_k$ với $i,k$ nguyên dương và $i+k=n$.
Nguồn được cung cấp không ghi điểm từng bài. Mỗi bài dùng 1 điểm biên tập để tương thích khi nhập; đây không phải thang điểm chính thức.
Cho $f:\mathbb N\to\mathbb Z$ thỏa mãn $f(0)=2$, $f(1)=503$ và
$$f(n+2)=503f(n+1)-1996f(n)\qquad(n\in\mathbb N).$$
Với mỗi số nguyên dương $k$, lấy các số nguyên $s_1,\ldots,s_k$ sao cho $s_i\ge k$ với mọi $i$. Với mỗi $s_i$, chọn tùy ý một ước nguyên tố $p(s_i)$ của $f(2^{s_i})$. Chứng minh với mọi số nguyên dương $t\le k$,
$$2^t\mid\sum_{i=1}^k p(s_i)\quad\Longleftrightarrow\quad2^t\mid k.$$
Ở đây $\mathbb N$ gồm cả $0$; các số $s_i$ không bắt buộc phân biệt.
Nguồn được cung cấp không ghi điểm từng bài. Mỗi bài dùng 1 điểm biên tập để tương thích khi nhập; đây không phải thang điểm chính thức.
Xác định tất cả các cặp số thực $a,b$ sao cho với mọi số nguyên dương $n$ và mọi nghiệm thực $x_n$ của phương trình
$$4n^2x=\log_2(2n^2x+1),$$
ta đều có
$$a^{x_n}+b^{x_n}\ge2+3x_n.$$
Các lũy thừa và lôgarit phải xác định trong tập số thực.
Nguồn được cung cấp không ghi điểm từng bài. Mỗi bài dùng 1 điểm biên tập để tương thích khi nhập; đây không phải thang điểm chính thức.
Cho các số nguyên dương $n,k,p$ với $k\ge2$ và $k(p+1)\le n$. Có $n$ điểm phân biệt cố định trên một đường tròn. Tô mỗi điểm bằng một trong hai màu xanh, đỏ sao cho đúng $k$ điểm màu xanh và trên mỗi cung theo chiều kim đồng hồ giữa hai điểm xanh liên tiếp có ít nhất $p$ điểm đỏ. Có bao nhiêu cách tô màu khác nhau? Hai cách tô khác nhau nếu có ít nhất một điểm cố định mang hai màu khác nhau trong hai cách tô.
Nguồn được cung cấp không ghi điểm từng bài. Mỗi bài dùng 1 điểm biên tập để tương thích khi nhập; đây không phải thang điểm chính thức.
$S$ là một đường tròn cố định với bán kính $R$. $P$ là một điểm cố định nằm bên trong đường tròn với $OP=d\lt R$. Tứ giác $ABCD$ là một tứ giác thay đổi sao cho $A,B,C,D$ nằm trên $S$, $AC$ giao với $BD$ tại điểm $P$, và $AC$ vuông góc tới $BD$. Hãy xác định giá trị lớn nhất và bé nhất của chu vi tứ giác $ABCD$ theo $R$ và $d$.
Cho $n\gt 1$ là một số nguyên không chia hết cho $1997$. Đặt
$$a_m=m+\frac{mn}{1997}\quad(m=1,2,\ldots,1996)$$
và
$$b_m=m+\frac{1997m}{n}\quad(m=1,2,\ldots,n-1).$$
Sắp xếp tất cả các số hạng $a_i,b_j$ trong một dãy theo thứ tự tăng dần. Chứng minh rằng hiệu của hai số hạng liên tiếp là bé hơn $2$.
Có bao nhiêu hàm $f(n)$ xác định trên tập các số nguyên dương với các giá trị nguyên dương thỏa mãn $f(1)=1$ và
$$f(n)f(n+2)=f(n+1)^2+1997$$
với mọi $n$ nguyên dương?
Cho $k=\sqrt[3]{3}$. Hãy tìm một đa thức $p(x)$ với các hệ số hữu tỷ và cấp càng nhỏ càng tốt thoả mãn $p(k+k^2)=3+k$. Hỏi rằng có tồn tại hay không một đa thức $q(x)$ với hệ số nguyên thoả mãn $q(k+k^2)=3+k$?
Cho $75$ điểm trong một lập phương đơn vị, sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng chúng ta có thể chọn được ba điểm tạo thành một tam giác với diện tích không vượt quá $7/72$.