Cho tam giác $ABC$ có $(I)$ và $(O)$ lần lượt là đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp. Gọi $D,E,F$ lần lượt là tiếp điểm của $(I)$ trên các cạnh $BC,CA,AB$. Gọi $\omega_A,\omega_B,\omega_C$ là các đường tròn tiếp xúc với hai đường tròn $(I)$ và $(O)$ lần lượt tại $D,K$ (với $\omega_A$), tại $E,M$ (với $\omega_B$), và tại $F,N$ (với $\omega_C$). Chứng minh rằng:
1. Các đường thẳng $DK,EM,FN$ đồng quy tại $P$.
2. Trực tâm của tam giác $DEF$ nằm trên đoạn $OP$.
Giữ nguyên đề, kể cả từ “đoạn” và việc không chỉ định kiểu tiếp xúc. Đề sai trên nhánh mà lời giải nguồn sử dụng; xem phản ví dụ tường minh.
PDF được cung cấp không ghi thời gian làm bài. Bản này dùng 240 phút mỗi buổi theo yêu cầu của người dùng, tổng 480 phút cho hai buổi; đây là quy ước biên tập. Nguồn được cung cấp không ghi điểm từng bài. Mỗi bài dùng 1 điểm biên tập để tương thích khi nhập; đây không phải thang điểm chính thức. Bài tự luận chấm thủ công; hướng dẫn chấm là biên tập. Hệ số nhập: đúng 1, sai 0, bỏ trống 0.
Trên một vòng tròn có $n$ chiếc ghế được đánh số từ $1$ đến $n$. Chọn ra $k$ chiếc ghế. Hai chiếc ghế được chọn gọi là kề nhau nếu đó là hai chiếc ghế được chọn liên tiếp. Tính số cách chọn $k$ chiếc ghế sao cho giữa hai chiếc ghế kề nhau có không ít hơn $3$ chiếc ghế khác.
PDF được cung cấp không ghi thời gian làm bài. Bản này dùng 240 phút mỗi buổi theo yêu cầu của người dùng, tổng 480 phút cho hai buổi; đây là quy ước biên tập. Nguồn được cung cấp không ghi điểm từng bài. Mỗi bài dùng 1 điểm biên tập để tương thích khi nhập; đây không phải thang điểm chính thức. Bài tự luận chấm thủ công; hướng dẫn chấm là biên tập. Hệ số nhập: đúng 1, sai 0, bỏ trống 0.
Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb Z\to\mathbb Z$ thỏa mãn với mọi số nguyên $x,y,z$,
$$f(x^3+y^3+z^3)=f(x)^3+f(y)^3+f(z)^3.$$
PDF được cung cấp không ghi thời gian làm bài. Bản này dùng 240 phút mỗi buổi theo yêu cầu của người dùng, tổng 480 phút cho hai buổi; đây là quy ước biên tập. Nguồn được cung cấp không ghi điểm từng bài. Mỗi bài dùng 1 điểm biên tập để tương thích khi nhập; đây không phải thang điểm chính thức. Bài tự luận chấm thủ công; hướng dẫn chấm là biên tập. Hệ số nhập: đúng 1, sai 0, bỏ trống 0.
Chứng minh rằng với mọi số thực dương $a,b,c$,
$$\frac{a^3}{(a+b)^3}+\frac{b^3}{(b+c)^3}+\frac{c^3}{(c+a)^3}\ge\frac38.$$
PDF được cung cấp không ghi thời gian làm bài. Bản này dùng 240 phút mỗi buổi theo yêu cầu của người dùng, tổng 480 phút cho hai buổi; đây là quy ước biên tập. Nguồn được cung cấp không ghi điểm từng bài. Mỗi bài dùng 1 điểm biên tập để tương thích khi nhập; đây không phải thang điểm chính thức. Bài tự luận chấm thủ công; hướng dẫn chấm là biên tập. Hệ số nhập: đúng 1, sai 0, bỏ trống 0.
Cho số nguyên tố $p>3$. Trong mỗi câu, $\lfloor x\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$, và điều kiện đồng dư áp dụng riêng cho câu đó. Tính:
(a) Nếu $p\equiv1\pmod4$,
$$S=\sum_{k=1}^{(p-1)/2}\left(\left\lfloor\frac{2k^2}{p}\right\rfloor-2\left\lfloor\frac{k^2}{p}\right\rfloor\right).$$
(b) Nếu $p\equiv1\pmod8$,
$$S=\sum_{k=1}^{(p-1)/2}\left\lfloor\frac{k^2}{p}\right\rfloor.$$
PDF được cung cấp không ghi thời gian làm bài. Bản này dùng 240 phút mỗi buổi theo yêu cầu của người dùng, tổng 480 phút cho hai buổi; đây là quy ước biên tập. Nguồn được cung cấp không ghi điểm từng bài. Mỗi bài dùng 1 điểm biên tập để tương thích khi nhập; đây không phải thang điểm chính thức. Bài tự luận chấm thủ công; hướng dẫn chấm là biên tập. Hệ số nhập: đúng 1, sai 0, bỏ trống 0.
Một số nguyên dương được gọi là “số kim cương 2005” nếu biểu diễn thập phân của nó có 2005 chữ số 9 đứng cạnh nhau liên tiếp. Cho dãy $(a_n)_{n\ge1}$ tăng ngặt gồm các số nguyên dương, thỏa mãn $a_n\lt nC$ với mọi $n\ge1$, trong đó $C$ là một hằng số thực dương nào đó. Chứng minh dãy số chứa vô hạn số kim cương 2005.
PDF được cung cấp không ghi thời gian làm bài. Bản này dùng 240 phút mỗi buổi theo yêu cầu của người dùng, tổng 480 phút cho hai buổi; đây là quy ước biên tập. Nguồn được cung cấp không ghi điểm từng bài. Mỗi bài dùng 1 điểm biên tập để tương thích khi nhập; đây không phải thang điểm chính thức. Bài tự luận chấm thủ công; hướng dẫn chấm là biên tập. Hệ số nhập: đúng 1, sai 0, bỏ trống 0.
Cho $(O)$ là một đường tròn cố định bán kính $R$. Lấy các điểm $A,B$ cố định trên đường tròn $(O)$ thỏa mãn $A,B,O$ không thẳng hàng. Xét điểm thay đổi $C$ nằm trên đường tròn $(O)$, $C\ne A,B$. Dựng hai đường tròn $(O_1),(O_2)$ đi qua các điểm $A,B$ và tiếp xúc với $BC,AC$ tại $C$, tương ứng. Đường tròn $(O_1)$ giao với đường tròn $(O_2)$ ở $D$, $D\ne C$. Chứng minh rằng
(a) $CD\le R$;
(b) đường thẳng $CD$ luôn đi qua một điểm không phụ thuộc vào điểm $C$ khi $C$ chạy trên đường tròn $(O)$.
Cho đa giác $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8$ lồi tám cạnh sao cho không có ba đường chéo nào đồng quy. Giao của hai đường chéo tùy ý được gọi là một “nút”. Xét tất cả các tứ giác lồi được tạo bởi bốn đỉnh của bát giác $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8$ và các tứ giác đó sẽ được gọi là những “tứ giác con”. Hãy xác định số nguyên dương $n$ bé nhất thỏa mãn:
Chúng ta có thể tô màu $n$ “nút” sao cho với mọi $i\ne k$ mà $i,k\in\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ thì các số $s(i,k)$ là bằng nhau, ở đó $s(i,k)$ được kí hiệu là số các “tứ giác con” có $A_i,A_k$ là các đỉnh và giao của hai đường chéo là một nút.
Lấy $\{x_n\}$ là dãy số thực được xác định bởi
$$x_1=a,\qquad x_{n+1}=3x_n^3-7x_n^2+5x_n,\quad n\in\mathbb N.$$
Hãy xác định tất cả các số thực $a$ thỏa mãn dãy $\{x_n\}$ có giới hạn hữu hạn khi $n\to+\infty$ và xác định giới hạn đó trong trường hợp tìm được.