Ngân hàng câu hỏi VMO 2016

Tìm các số nguyên dương $a,n$, với $a\gt 2$, sao cho mọi ước nguyên tố của $a^n-1$ đều là ước nguyên tố của $a^{3^{2016}}-1$.

Gọi $A$ là tập hợp $2000$ số nguyên phân biệt và $B$ là tập hợp $2016$ số nguyên phân biệt. Gọi $K$ là số cặp có thứ tự $(m,n)\in A\times B$ thỏa mãn $|m-n|\le 1000$. Tìm giá trị lớn nhất của $K$.

Cho tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn cố định \((O)\), với \(B,C\) cố định và \(A\) di động trên một cung \(BC\) cố định. Các phân giác trong \(AD,BE,CF\) đồng quy tại \(I\). Đường tròn qua \(D\), tiếp xúc với đường thẳng \(OA\) tại \(A\), cắt lại \((O)\) tại \(G\). Các đường thẳng \(GE,GF\) cắt lại \((O)\) tại \(M,N\); đặt \(H=BM\cap CN\).
(a) Chứng minh \(AH\) đi qua một điểm cố định.
(b) Gọi \(K,L\) là giao điểm thứ hai của \(BE,CF\) với \((O)\), và \(P=AH\cap KL\). Lấy \(Q\in EF\) sao cho \(QP=QI\). Gọi \(J\ne I\) là giao điểm thứ hai của đường thẳng qua \(I\), vuông góc với \(IQ\), với \((BIC)\). Chứng minh trung điểm \(IJ\) nằm trên một đường tròn cố định.
Để phép dựng có nghĩa, xét các vị trí mà các đường tròn, đường thẳng và giao điểm được dùng đều tồn tại, phân biệt theo yêu cầu.

Cho tam giác nhọn \(ABC\) thỏa mãn
\[\angle ACB\lt \angle ABC\lt \angle ACB+\frac12\angle BAC.\]
Lấy \(D\) trên đoạn \(BC\) sao cho \(\angle ADC=\angle ACB+\tfrac12\angle BAC\). Tiếp tuyến tại \(A\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) cắt đường thẳng \(BC\) tại \(E\). Phân giác trong góc \(AEB\) cắt \(AD\) tại \(G\) và cắt lại đường tròn \((ADE)\) tại \(F\ne E\). Đặt \(H=DF\cap AE\).
(a) Chứng minh các đường tròn đường kính \(AE,DF,GH\) có một điểm chung.
(b) Lấy \(K\) trên đường phân giác ngoài của góc \(BAC\), \(M\) trên tia \(AC\) sao cho \(KB=KD=KM\). Tương tự, lấy \(L\) trên đường phân giác ngoài ấy, \(N\) trên tia \(AB\) sao cho \(LC=LD=LN\). Gọi \(I\) là trung điểm \(BC\); đường tròn \((MNI)\) cắt lại \(BC\) tại \(P\ne I\). Chứng minh \(BM,CN,AP\) đồng quy.

Cho $n\ge3$, $a_1,\ldots,a_n\in\{0,1\}$. Xét $n$ bộ dịch vòng $S_i=(a_i,a_{i+1},\ldots,a_n,a_1,\ldots,a_{i-1})$. Với bộ nhị phân $r=(b_1,\ldots,b_n)$, đặt $\omega(r)=\sum_{j=1}^n b_j2^{n-j}$. Giả sử $\omega(S_1),\ldots,\omega(S_n)$ nhận đúng $k$ giá trị phân biệt.
1. Chứng minh $k\mid n$ và $\frac{2^n-1}{2^k-1}\mid\omega(S_i)$ với mọi $i$.
2. Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các số trên. Chứng minh
$$M-m\ge\frac{(2^n-1)(2^{k-1}-1)}{2^k-1}.$$

Cho $16$ số thực phân biệt $a_1,\ldots,a_{16}$. Với mỗi đa thức hệ số thực $P$, đặt $V(P)=\sum_{i=1}^{16}P(a_i)$. Chứng minh tồn tại duy nhất đa thức $Q$ bậc $8$ có hệ số của $x^8$ bằng $1$ thỏa mãn đồng thời:
1. $V(QP)=0$ với mọi đa thức $P$ có bậc nhỏ hơn $8$;
2. $Q$ có $8$ nghiệm thực, tính cả bội.

Giải hệ phương trình
$$\begin{cases}6x-y+z^2=3,\\x^2-y^2-2z=-1,\\6x^2-3y^2-y-2z^2=0,\end{cases}\qquad(x,y,z\in\mathbb R).$$

a) Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi $a_n=\ln(2n^2+1)-\ln(n^2+n+1)$, với $n=1,2,\ldots$. Chứng minh chỉ có hữu hạn số $n$ sao cho $\{a_n\}\lt 1/2$.
b) Cho dãy số $(b_n)$ xác định bởi $b_n=\ln(2n^2+1)+\ln(n^2+n+1)$, với $n=1,2,\ldots$. Chứng minh tồn tại vô hạn số $n$ sao cho $\{b_n\}\lt 1/2016$.
Trong đó $\{x\}$ là phần lẻ của số thực $x$: $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$.

Cho tam giác $ABC$ có $B,C$ cố định, $A$ thay đổi sao cho tam giác $ABC$ nhọn. Gọi $D$ là trung điểm của $BC$ và $E,F$ tương ứng là hình chiếu vuông góc của $D$ lên $AB,AC$.
a) Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. $EF$ cắt $AO$ và $BC$ lần lượt tại $M,N$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMN$ đi qua một điểm cố định.
b) Các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ tại $E,F$ cắt nhau tại $T$. Chứng minh rằng $T$ thuộc một đường thẳng cố định.

Người ta trồng hai loại cây khác nhau trên một miếng đất hình chữ nhật kích thước $m\times n$ ô vuông (mỗi ô trồng một cây). Một cách trồng cây được gọi là ấn tượng nếu:
i) Số lượng cây được trồng của hai loại cây bằng nhau;
ii) Số lượng chênh lệch của hai loại cây trên mỗi hàng không nhỏ hơn một nửa số ô của hàng đó và số lượng chênh lệch của hai loại cây trên mỗi cột không nhỏ hơn một nửa số ô của cột đó.
a) Hãy chỉ ra một cách trồng cây ấn tượng khi $m=n=2016$.
b) Chứng minh nếu có một cách trồng cây ấn tượng thì cả $m$ và $n$ đều là bội của $4$.

Tìm tất cả các số thực $a$ để tồn tại hàm số $f:\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa mãn
$$f(1)=2016,\qquad f(x+y+f(y))=f(x)+ay\quad(x,y\in\mathbb R).$$

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ (với tâm $O$) có các góc ở đỉnh $B,C$ đều nhọn. Lấy điểm $M$ trên cung $BC$ không chứa $A$ sao cho $AM$ không vuông góc với $BC$. $AM$ cắt trung trực của $BC$ tại $T$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AOT$ cắt $(O)$ tại $N$ ($N\ne A$).
a) Chứng minh $\angle BAM=\angle CAN$.
b) Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp và $G$ là chân đường phân giác trong góc $A$ của tam giác $ABC$. $AI,MI,NI$ cắt $(O)$ lần lượt tại $D,E,F$. Gọi $P,Q$ tương ứng là giao điểm của $DF$ với $AM$ và $DE$ với $AN$. Đường tròn đi qua $P$ và tiếp xúc với $AD$ tại $I$ cắt $DF$ tại $H$ ($H\ne D$), đường tròn đi qua $Q$ và tiếp xúc với $AD$ tại $I$ cắt $DE$ tại $K$ ($K\ne D$). Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác $GHK$ tiếp xúc với $BC$.

Số nguyên dương $n$ được gọi là số hoàn chỉnh nếu $n$ bằng tổng các ước số dương của nó (không kể chính nó).
a) Chứng minh rằng nếu $n$ là số hoàn chỉnh lẻ thì nó có dạng $n=p^s m^2$, trong đó $p$ là số nguyên tố có dạng $4k+1$, $s$ là số nguyên dương có dạng $4h+1$ và $m$ là số nguyên dương không chia hết cho $p$.
b) Tìm tất cả các số nguyên dương $n\gt 1$ sao cho $n-1$ và $n(n+1)/2$ đều là các số hoàn chỉnh.