Trong mặt phẳng, xét tập $S$ gồm $n\ge3$ điểm phân biệt thỏa mãn: (1) khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ của $S$ không vượt quá 1; (2) mỗi điểm $A$ có đúng hai điểm kề, nghĩa là hai điểm thuộc $S$ có khoảng cách bằng 1 tới $A$; (3) với hai điểm tùy ý $A,B\in S$, gọi $A',A''$ là hai điểm kề với $A$ và $B',B''$ là hai điểm kề với $B$, thì $\angle A' AA''=\angle B' BB''$. Có tồn tại tập như vậy khi $n=1991$ không? Khi $n=2000$ không? Vì sao?
Nguồn được cung cấp không ghi điểm từng bài. Mỗi bài dùng 1 điểm biên tập để tương thích khi nhập; đây không phải thang điểm chính thức.
Cho dãy số thực dương $a_1,\ldots,a_n$, với $n>2$ và $a_1\ne a_n$, là dãy không giảm ($a_k\le a_{k+1}$ với $1\le k\lt n$) hoặc không tăng ($a_k\ge a_{k+1}$ với $1\le k\lt n$). Cho các số thực dương $x,y$ thỏa mãn $$\frac xy\ge\frac{a_1-a_2}{a_1-a_n}.$$ Chứng minh rằng, với chỉ số tuần hoàn $a_{n+1}=a_1$, $a_{n+2}=a_2$, $$\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{a_{k+1}x+a_{k+2}y}\ge\frac n{x+y}.$$
Cho dãy số thực dương $(x_n)$ xác định bởi $$x_1=1,\quad x_2=9,\quad x_3=9,\quad x_4=1,\qquad x_{n+4}=\sqrt[4]{x_nx_{n+1}x_{n+2}x_{n+3}}\quad(n\ge1).$$ Chứng minh dãy có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Gọi $T$ là hình tứ diện tùy ý có mỗi cạnh dài không quá 1 và mỗi mặt là một tam giác vuông. Ký hiệu $s(T)$ là tổng bình phương diện tích bốn mặt. Tìm giá trị lớn nhất của $s(T)$.
Với mỗi số tự nhiên $n$, định nghĩa $f(1)=1$ và, khi $n>1$ có phân tích nguyên tố $n=p_1^{a_1}\cdots p_k^{a_k}$ với các số nguyên tố $p_i$ đôi một khác nhau và các số nguyên dương $a_i$, đặt $$f(n)=1+a_1p_1+\cdots+a_kp_k.$$ Gọi $f_s(n)$ là kết quả áp dụng hàm $f$ đúng $s$ lần. Chứng minh rằng với số tự nhiên $a$ cho trước, có số tự nhiên $s_0$ sao cho tổng $f_s(a)+f_{s-1}(a)$ không phụ thuộc vào số nguyên $s>s_0$. Số tự nhiên trong miền xác định được hiểu là số dương, theo định nghĩa đã cho.
Cho tập $X$ gồm $2n$ số thực đôi một khác nhau, với $n\ge3$. Xét tập $K$ gồm một số cặp có thứ tự $(x,y)$ với $x,y\in X$, $x\ne y$, thỏa mãn: (1) nếu $(x,y)\in K$ thì $(y,x)\notin K$; (2) mỗi số $x\in X$ có mặt trong nhiều nhất 19 cặp thuộc $K$. Chứng minh có thể phân chia $X$ thành năm tập con không rỗng đôi một không giao nhau $X_1,\ldots,X_5$ sao cho với mỗi $i=1,\ldots,5$, số cặp $(x,y)\in K$ mà $x,y$ cùng thuộc $X_i$ không vượt quá $3n$.
Hãy xác định tất cả các hàm số $f:\mathbb R\to\mathbb R$ sao cho bất đẳng thức sau đúng với các số thực $x,y,z$ bất kì:
$$\frac12 f(xy)+\frac12 f(xz)-f(x)f(yz)\ge\frac14.$$
Cho trước số lẻ $k\gt 1$. Với mỗi số nguyên dương $n$ ta xác định $f(n)$ là số nguyên không âm lớn nhất sao cho $k^n-1$ chia hết cho $2^{f(n)}$. Hãy xác định công thức tính $f(n)$ theo $k$ và $n$.
Cho một góc tam diện vuông $Oxyz$ và ba điểm cố định $A,B,C$ theo thứ tự nằm trên $Ox,Oy,Oz$. Một mặt cầu $(E)$ thay đổi nhưng luôn đi qua $A,B,C$ và $(E)$ cắt thêm các cạnh $Ox,Oy,Oz$ của góc tam diện lần lượt tại các điểm $A',B',C'$. Gọi $M$ và $M'$ theo thứ tự là trọng tâm của tam giác $ABC$ và $A'B'C'$. Hỏi rằng khi mặt cầu $(E)$ thay đổi thì trung điểm $S$ của đoạn thẳng $MM'$ chạy trên hình nào?
Có $1991$ học sinh đứng thành một vòng tròn và quay mặt vào trong để chơi một trò chơi đếm số như dưới đây. Mỗi học sinh đếm một số lần lượt theo chiều kim đồng hồ, bắt đầu từ học sinh $A$ nào đó. Các số đếm được là $1,2,3$ và cứ lặp theo thứ tự như thế. Nếu học sinh nào đếm số $2$ hoặc số $3$ thì phải rời ngay khỏi vị trí của vòng tròn. Học sinh còn lại cuối cùng sẽ được thưởng. Hỏi học sinh muốn được thưởng thì lúc bắt đầu chơi phải chọn vị trí thứ bao nhiêu theo chiều kim đồng hồ kể từ học sinh $A$ đếm số $1$ lần đầu tiên?
Cho tam giác $ABC$ với trọng tâm là $G$ và nội tiếp trong đường tròn bán kính $R$, các đường trung tuyến của tam giác này xuất phát từ các đỉnh $A,B,C$ kéo dài cắt đường tròn lần lượt tại $D,E,F$. Chứng minh rằng
$$\frac3R\le\frac1{GD}+\frac1{GE}+\frac1{GF}\le\sqrt3\left(\frac1{AB}+\frac1{BC}+\frac1{CA}\right).$$