Cho đa thức $P(x)$ hệ số thực, khác hằng và hệ số của bậc cao nhất là $1$. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb R\to\mathbb R$ liên tục và thỏa mãn
$$f\bigl(f(P(x))+y+2023f(y)\bigr)=P(x)+2024f(y)$$
với mọi $x,y\in\mathbb R$.
Thời lượng luyện tập cả năm là 540 phút, bằng tổng hai ngày thi, mỗi ngày 270 phút theo tài liệu nguồn. Tài liệu nguồn không ghi điểm. Mỗi bài được gán 1 điểm biên tập để tương thích khi nhập; đây không phải thang điểm chính thức.
Một khu vườn có mặt bằng là lưới ô vuông $2024\times2024$. Người làm vườn đặt các chậu hoa thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
1. Một chậu trồng đúng một trong ba loại hoa: cúc, hồng, lan.
2. Một ô vuông $1\times1$ không có quá một chậu hoa.
3. Với mỗi chậu hoa cho trước, số lượng chậu trồng hoa khác loài với nó trên cùng hàng ngang và số lượng chậu trồng hoa khác loài với nó trên cùng hàng dọc thì có tổng là $3$.
Hỏi người làm vườn có thể đặt được tối đa bao nhiêu chậu cây mà có đủ cả ba loại hoa trong vườn và thỏa mãn cả ba điều kiện trên?
Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân. Đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc với các cạnh $BC,CA,AB$ theo thứ tự tại $D,E,F$. Gọi $X,Y,Z$ lần lượt là chân đường cao hạ từ đỉnh $A,B,C$ của tam giác $ABC$. Gọi $A'$ là điểm đối xứng với $X$ qua $EF$, gọi $B'$ là điểm đối xứng với $Y$ qua $FD$ và $C'$ là điểm đối xứng với $Z$ qua $DE$. Chứng minh rằng tam giác $ABC$ đồng dạng với tam giác $A'B'C'$.
Cho số thực $\alpha\in(1;+\infty)$ và đa thức hệ số thực $P(x)$ có bậc $24$, đồng thời hệ số cao nhất và hệ số tự do đều là $1$. Giả sử rằng $P(x)$ có $24$ nghiệm thực dương không quá $\alpha$. Chứng minh rằng
$$|P(1)|\le\left(\frac{19}{5}\right)^5(\alpha-1)^{24}.$$
Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân nội tiếp đường tròn $(O)$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ của tam giác $ABC$ tiếp xúc với các cạnh $BC,CA,AB$ theo thứ tự tại $D,E,F$. Tia $EF$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm $M$, tiếp tuyến tại $A$ và $M$ của $(O)$ cắt nhau ở $S$, tiếp tuyến tại $B$ và $C$ cắt nhau ở $T$. Giả sử $IT$ cắt $OA$ tại $J$. Chứng minh rằng
$$\angle ASJ=\angle TSI.$$
Cho đa thức $P(x)$ hệ số nguyên, khác hằng. Tìm tất cả đa thức $Q(x)$ hệ số nguyên thỏa mãn điều kiện: với mọi số nguyên dương $n$, tồn tại đa thức $R_n(x)$ có hệ số nguyên sao cho
$$Q(x)^{2n}-1=R_n(x)\bigl(P(x)^{2n}-1\bigr).$$
Với mỗi số thực $x$, ta gọi $[x]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$. Cho dãy số $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ xác định bởi $a_n=\dfrac1{4^{[-\log_4 n]}}$ với mọi $n\ge1$. Đặt
$$b_n=\frac1{n^2}\left(\sum_{k=1}^na_k-\frac1{a_1+a_2}\right),\qquad n\ge1.$$
(a) Tìm một đa thức $P(x)$ với hệ số thực sao cho $b_n=P(a_n/n)$ với mọi $n\ge1$.
(b) Chứng minh rằng tồn tại một dãy số nguyên dương $(n_k)_{k=1}^{\infty}$ tăng thực sự sao cho $\displaystyle\lim_{k\to\infty}b_{n_k}=2024/2025$.
Tìm tất cả các đa thức $P(x),Q(x)$ với hệ số thực sao cho với mỗi số thực $a$ thì $P(a)$ là nghiệm của phương trình
$$x^{2023}+Q(a)x^2+(a^{2024}+a)x+a^3+2025a=0.$$
Cho $ABC$ là tam giác nhọn với tâm đường tròn ngoại tiếp $O$. Gọi $A'$ là tâm của đường tròn đi qua $C$ và tiếp xúc $AB$ tại $A$, gọi $B'$ là tâm của đường tròn đi qua $A$ và tiếp xúc $BC$ tại $B$, gọi $C'$ là tâm đường tròn đi qua $B$ và tiếp xúc $CA$ tại $C$.
(a) Chứng minh rằng diện tích tam giác $A'B'C'$ lớn hơn hoặc bằng diện tích tam giác $ABC$.
(b) Gọi $X,Y,Z$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $O$ lên các đường thẳng $A'B',B'C',C'A'$. Biết rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $XYZ$ lần lượt cắt lại các đường thẳng $A'B',B'C',C'A'$ tại các điểm $X',Y',Z'$ ($X'\ne X,Y'\ne Y,Z'\ne Z$). Chứng minh rằng các đường thẳng $AX',BY',CZ'$ đồng quy.
Người ta xếp $k$ viên bi vào các ô của một bảng $2024\times2024$ ô vuông sao cho hai điều kiện sau được thỏa mãn: mỗi ô không có quá một viên bi và không có hai viên bi nào được xếp ở hai ô kề nhau (hai ô được gọi là kề nhau nếu chúng có chung một cạnh).
(a) Cho $k=2024$. Hãy chỉ ra một cách xếp thỏa mãn cả hai điều kiện trên mà khi chuyển bất kì viên bi đã được xếp nào sang một ô tùy ý kề với nó thì cách xếp mới không còn thỏa mãn cả hai điều kiện nêu trên.
(b) Tìm giá trị $k$ lớn nhất sao cho với mọi cách xếp $k$ viên bi thỏa mãn hai điều kiện trên ta có thể chuyển một trong số các viên bi đã được xếp sang một ô kề với nó mà cách xếp mới vẫn không có hai viên bi nào được xếp ở hai ô kề nhau.
Với mỗi đa thức $P(x)$, đặt $P_1(x)=P(x)$ và $P_{j+1}(x)=P(P_j(x))$ với $1\le j\le2023$, với mọi $x\in\mathbb R$. Cho $a$ là số thực lớn hơn $2$. Tồn tại hay không một đa thức $P(x)$ với hệ số thực thỏa mãn điều kiện: với mỗi $t\in(-a,a)$, phương trình $P_{2024}(x)=t$ có đúng $2^{2024}$ nghiệm thực phân biệt?
Với mỗi số nguyên dương $n$, gọi $\tau(n)$ là số các ước nguyên dương của $n$.
(a) Giải phương trình nghiệm nguyên dương $\tau(n)+2023=n$ với $n$ là ẩn số.
(b) Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương $k$ sao cho có đúng hai số nguyên dương $n$ thỏa mãn phương trình $\tau(kn)+2023=n$.
Trong không gian, cho đa diện lồi $D$ sao cho tại mỗi đỉnh của $D$ có đúng một số chẵn các cạnh chứa đỉnh đó. Chọn ra một mặt $F$ của $D$. Giả sử ta gán cho mỗi cạnh của $D$ một số nguyên dương sao cho điều kiện sau được thỏa mãn: với mỗi mặt khác mặt $F$ của $D$, tổng các số được gán với các cạnh của mặt đó là một số nguyên dương chia hết cho $2024$. Chứng minh rằng tổng các số được gán với các cạnh của mặt $F$ cũng là một số nguyên dương chia hết cho $2024$.