Cho tam giác $ABC$ không vuông tại $A$ có đường trung tuyến $AM$. Gọi $D$ là một điểm di động trên đường thẳng $AM$. Gọi $(O_1),(O_2)$ là các đường tròn đi qua $D$, tiếp xúc với $BC$ lần lượt tại $B$ và $C$. Gọi $P,Q$ lần lượt là giao điểm của đường thẳng $AB$ với đường tròn $(O_1)$, đường thẳng $AC$ với đường tròn $(O_2)$. Chứng minh rằng:
1. Tiếp tuyến tại $P$ của $(O_1)$ và tiếp tuyến tại $Q$ của $(O_2)$ phải cắt nhau tại một điểm. Gọi giao điểm đó là $S$.
2. Điểm $S$ luôn di chuyển trên một đường thẳng cố định khi $D$ di động trên $AM$.
Làm rõ cách dựng trong đề in: cần $D\ne M$ để hai đường tròn tồn tại; $P,Q$ là các giao điểm thứ hai, khác $B,C$.
Với mỗi số nguyên dương $n$, xét tập hợp
$$T_n=\{11(k+h)+10(n^k+n^h):1\le k,h\le10\}.$$
Tìm tất cả giá trị của $n$ sao cho không tồn tại $a,b\in T_n$, $a\ne b$, mà $a-b$ chia hết cho $110$.
Gọi một hình chữ nhật có kích thước $1\times2$ là hình chữ nhật đơn, và một hình chữ nhật có kích thước $2\times3$ bỏ đi hai ô ở hai góc chéo nhau (tức còn bốn ô vuông nhỏ) là hình chữ nhật kép. Người ta ghép khít các hình chữ nhật đơn và hình chữ nhật kép này lại với nhau được một bảng hình chữ nhật có kích thước $2008\times2010$. Tìm số bé nhất các hình chữ nhật đơn có thể dùng để ghép.
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn
$$16(a+b+c)\ge\frac1a+\frac1b+\frac1c.$$
Chứng minh rằng
$$\frac1{(a+b+\sqrt{2(a+c)})^3}+\frac1{(b+c+\sqrt{2(b+a)})^3}+\frac1{(c+a+\sqrt{2(c+b)})^3}\le\frac89.$$
Hỏi đẳng thức xảy ra khi nào?
Trong một hội nghị có $n$ nước tham gia, mỗi nước có $k$ đại diện, với $n>k>1$. Người ta chia $nk$ người này thành $n$ nhóm, mỗi nhóm có $k$ người sao cho không có hai người nào cùng nhóm đến từ cùng một nước. Chứng minh rằng có thể chọn ra một nhóm gồm $n$ người sao cho họ thuộc các nhóm khác nhau và đến từ các nước khác nhau.
Gọi $S_n$ là tổng bình phương các hệ số trong khai triển của nhị thức $(1+x)^n$, trong đó $n$ là số nguyên dương và $x$ là số thực bất kì. Chứng minh rằng $S_{2n}+1$ không chia hết cho $3$ với mọi số nguyên dương $n$.
Cho dãy số thực $(a_n)$ xác định bởi
$$a_1=5,\qquad a_n=\sqrt[n]{a_{n-1}^{n-1}+2^{n-1}+2\cdot3^{n-1}}\quad(n\ge2).$$
1. Tìm số hạng tổng quát của dãy số $(a_n)$.
2. Chứng minh rằng $(a_n)$ là dãy số giảm.
Trong mặt phẳng, cho đường tròn $(O)$ và hai điểm cố định $B,C$ nằm trên đường tròn đó sao cho dây $BC$ không là đường kính. Xét một điểm $A$ di động trên $(O)$ sao cho $AB\ne AC$ và $A$ không trùng với $B,C$. Gọi $D,E$ lần lượt là giao điểm của đường thẳng $BC$ với đường phân giác trong và đường phân giác ngoài của góc $BAC$. Gọi $I$ là trung điểm của $DE$. Đường thẳng đi qua trực tâm của tam giác $ABC$ và vuông góc với $AI$ cắt các đường thẳng $AD,AE$ tương ứng tại $M,N$.
1. Chứng minh rằng đường thẳng $MN$ luôn đi qua một điểm cố định.
2. Xác định vị trí của điểm $A$ sao cho tam giác $AMN$ có diện tích lớn nhất.
Cho số nguyên dương $n$. Cho bảng ô vuông kích thước $3\times3$. Người ta dùng $n$ màu để tô tất cả các ô vuông con của bảng sao cho trong mỗi cách tô, mỗi ô vuông con được tô bởi một màu.
Hai cách tô màu được coi là như nhau nếu cách tô màu này có thể nhận được từ cách tô màu kia nhờ một phép quay quanh tâm của bảng ô vuông.
Hỏi có tất cả bao nhiêu cách tô màu đôi một không như nhau?
Lưu ý: Trong một cách tô không nhất thiết phải dùng đủ $n$ màu.