Với mỗi số thực $x$, ta gọi $[x]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$. Cho dãy số $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ xác định bởi $a_n=\dfrac1{4^{[-\log_4 n]}}$ với mọi $n\ge1$. Đặt
$$b_n=\frac1{n^2}\left(\sum_{k=1}^na_k-\frac1{a_1+a_2}\right),\qquad n\ge1.$$
(a) Tìm một đa thức $P(x)$ với hệ số thực sao cho $b_n=P(a_n/n)$ với mọi $n\ge1$.
(b) Chứng minh rằng tồn tại một dãy số nguyên dương $(n_k)_{k=1}^{\infty}$ tăng thực sự sao cho $\displaystyle\lim_{k\to\infty}b_{n_k}=2024/2025$.
Tìm tất cả các đa thức $P(x),Q(x)$ với hệ số thực sao cho với mỗi số thực $a$ thì $P(a)$ là nghiệm của phương trình
$$x^{2023}+Q(a)x^2+(a^{2024}+a)x+a^3+2025a=0.$$
Cho $ABC$ là tam giác nhọn với tâm đường tròn ngoại tiếp $O$. Gọi $A'$ là tâm của đường tròn đi qua $C$ và tiếp xúc $AB$ tại $A$, gọi $B'$ là tâm của đường tròn đi qua $A$ và tiếp xúc $BC$ tại $B$, gọi $C'$ là tâm đường tròn đi qua $B$ và tiếp xúc $CA$ tại $C$.
(a) Chứng minh rằng diện tích tam giác $A'B'C'$ lớn hơn hoặc bằng diện tích tam giác $ABC$.
(b) Gọi $X,Y,Z$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $O$ lên các đường thẳng $A'B',B'C',C'A'$. Biết rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $XYZ$ lần lượt cắt lại các đường thẳng $A'B',B'C',C'A'$ tại các điểm $X',Y',Z'$ ($X'\ne X,Y'\ne Y,Z'\ne Z$). Chứng minh rằng các đường thẳng $AX',BY',CZ'$ đồng quy.
Người ta xếp $k$ viên bi vào các ô của một bảng $2024\times2024$ ô vuông sao cho hai điều kiện sau được thỏa mãn: mỗi ô không có quá một viên bi và không có hai viên bi nào được xếp ở hai ô kề nhau (hai ô được gọi là kề nhau nếu chúng có chung một cạnh).
(a) Cho $k=2024$. Hãy chỉ ra một cách xếp thỏa mãn cả hai điều kiện trên mà khi chuyển bất kì viên bi đã được xếp nào sang một ô tùy ý kề với nó thì cách xếp mới không còn thỏa mãn cả hai điều kiện nêu trên.
(b) Tìm giá trị $k$ lớn nhất sao cho với mọi cách xếp $k$ viên bi thỏa mãn hai điều kiện trên ta có thể chuyển một trong số các viên bi đã được xếp sang một ô kề với nó mà cách xếp mới vẫn không có hai viên bi nào được xếp ở hai ô kề nhau.
Với mỗi đa thức $P(x)$, đặt $P_1(x)=P(x)$ và $P_{j+1}(x)=P(P_j(x))$ với $1\le j\le2023$, với mọi $x\in\mathbb R$. Cho $a$ là số thực lớn hơn $2$. Tồn tại hay không một đa thức $P(x)$ với hệ số thực thỏa mãn điều kiện: với mỗi $t\in(-a,a)$, phương trình $P_{2024}(x)=t$ có đúng $2^{2024}$ nghiệm thực phân biệt?
Với mỗi số nguyên dương $n$, gọi $\tau(n)$ là số các ước nguyên dương của $n$.
(a) Giải phương trình nghiệm nguyên dương $\tau(n)+2023=n$ với $n$ là ẩn số.
(b) Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương $k$ sao cho có đúng hai số nguyên dương $n$ thỏa mãn phương trình $\tau(kn)+2023=n$.
Trong không gian, cho đa diện lồi $D$ sao cho tại mỗi đỉnh của $D$ có đúng một số chẵn các cạnh chứa đỉnh đó. Chọn ra một mặt $F$ của $D$. Giả sử ta gán cho mỗi cạnh của $D$ một số nguyên dương sao cho điều kiện sau được thỏa mãn: với mỗi mặt khác mặt $F$ của $D$, tổng các số được gán với các cạnh của mặt đó là một số nguyên dương chia hết cho $2024$. Chứng minh rằng tổng các số được gán với các cạnh của mặt $F$ cũng là một số nguyên dương chia hết cho $2024$.