Ngân hàng câu hỏi VMO 1965

Tại một thời điểm ban đầu $t=0$, chiếc tàu thuỷ của hải quân ta ở vị trí ban đầu $O$ phát hiện một chiếc tàu thuỷ của địch ở vị trí ban đầu $A$, cách tàu của ta $OA=a$ và đang chạy với vận tốc $v$ không đổi trên đường thẳng vuông góc với $OA$. Để đuổi bắn quân địch ta mở máy chạy với vận tốc là $u$ không đổi trên một đường thẳng làm một góc nhọn $\varphi$ với $OA$.

(a) Khi $\varphi$ đã được chọn trước, hỏi khoảng cách cực tiểu đạt được giữa tàu ta và tàu địch là bao nhiêu? Các vận tốc $u$ và $v$ phải thoả mãn điều kiện gì thì cực tiểu ấy triệt tiêu?

(b) Nếu điều kiện ấy không được thoả mãn thì ta phải chọn góc $\varphi$ như thế nào để khoảng cách cực tiểu ở trên bé nhất có thể? Khi đạt khoảng cách ngắn nhất thì hướng ta phải bắn vào tàu địch một góc là bao nhiêu với đường đi của địch?

Cho một vòng tròn lớn với hai dây cung $AB$ và $CD$ song song với nhau. Gọi $M$ là một điểm chạy trên vòng tròn ấy. Đường thẳng $MD$ cắt đường thẳng $AB$ tại $Q$.

(a) Khi $M$ tiến tới $D$ hay tới $C$ thì tâm vòng tròn tam giác $\triangle MCQ$ tiến tới đâu? Hãy xác định quỹ tích của tâm vòng tròn $(MCQ)$.

(b) Người ta lấy một điểm $E$ cố định ngoài mặt phẳng của hình vẽ. Ta phải chọn điểm $E$ như thế nào để cho quỹ tích của tâm mặt cầu $(MCQE)$ trùng với quỹ tích của tâm vòng tròn $(MCQ)$?

(a) Cho hai số không âm $x,y$ có tổng là $a$ không đổi. Hãy xác định giá trị của $x,y$ để cho tổng $x^m+y^m$ là bé nhất, trong đó $m$ là số tự nhiên cho trước. Cho $n$ số không âm có tổng không đổi, chứng minh rằng muốn cho tổng $x_1^m+x_2^m+\cdots+x_n^m$ là bé nhất thì phải có $x_1=x_2=\cdots=x_n$.

(b) Người ta muốn chứa hết một mét khối bột hoá chất vào $8$ thùng gỗ hình lập phương mà mỗi mặt phẳng tấm gỗ có bề dày nhất định không đáng kể. Giá tiền mỗi tấm gỗ vuông với bề dày ấy tỉ lệ với bình phương diện tích của nó. Hỏi phải chọn các cạnh $x_1,x_2,\ldots,x_8$ như thế nào của $8$ thùng gỗ đó mà đỡ tốn tiền gỗ nhất?