Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân có trực tâm $H$. Gọi $D,E,F$ lần lượt là các điểm đối xứng với $H$ qua $BC,CA,AB$, và gọi $A^{\prime},B^{\prime},C^{\prime}$ lần lượt là các điểm đối xứng với $A,B,C$ cũng qua $BC,CA,AB$. Gọi $S$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ và $H^{\prime}$ là trực tâm tam giác $DEF$. Gọi $J$ là tâm đường tròn đi qua ba hình chiếu của $H$ lên các đường thẳng $B^{\prime} C^{\prime},C^{\prime} A^{\prime},A^{\prime} B^{\prime}$. Chứng minh rằng $HJ\parallel H^{\prime} S$.
Trong một chương trình Trại hè về Toán ứng dụng, có tổng cộng $8m+1$ bạn nam (với $m>5$) và một số bạn nữ. Biết rằng mỗi bạn nữ quen đúng $3$ bạn nam và $2$ bạn nam tùy ý quen chung đúng $1$ bạn nữ. Gọi $n$ là số lớn nhất các bạn nữ có thể chọn trong trại hè mà mỗi bạn nam quen không quá $1$ bạn nữ. Chứng minh rằng $n\ge2m+1$.
Cho bảng ô vuông $n\times n$ có các hàng và cột được đánh số từ $1$ đến $n$, còn ô vuông ở hàng $i$, cột $j$ ký hiệu là ô $(i,j)$. Một tập con $A$ các ô vuông của bảng là “tốt” nếu xét hai ô tùy ý $(x_1,y),(x_2,y)$ thuộc $A$ thì các ô $(u,v)$ mà
$$x_1\lt u\le x_2,\quad v\lt y,$$
hoặc
$$x_1\le u\lt x_2,\quad v>y,$$
đều không thuộc $A$. Tìm số tập con tốt nhỏ nhất đôi một rời nhau để mỗi ô của bảng đều thuộc đúng một tập con.
Xét đa thức $P(x)=x^4-x^3+x$.
a) Chứng minh rằng với mọi số dương $a$, đa thức $P(x)-a$ có duy nhất một nghiệm dương.
b) Xét dãy $(a_n)$ xác định bởi $a_1=1/3$ và, với mọi $n\ge1$, $a_{n+1}$ là nghiệm dương của $P(x)-a_n$. Chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Với mỗi số nguyên $n\ge0$, đặt
$$u_n=(2+\sqrt5)^n+(2-\sqrt5)^n.$$
a) Chứng minh $u_n$ là số nguyên dương với mọi $n\ge0$. Khi $n$ thay đổi, số dư của $u_n$ khi chia cho 24 lớn nhất bằng bao nhiêu?
b) Tìm tất cả cặp số nguyên dương $(a,b)$ với $a,b\lt 500$ sao cho với mọi $n$ lẻ,
$$u_n\equiv a^n-b^n\pmod{1111}.$$
Cho tam giác nhọn không cân $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và có trực tâm $H$. Đường thẳng $AH$ cắt lại $(O)$ tại $D\ne A$. Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm $AB,AC$. Đường thẳng qua $H$ vuông góc $HF$ cắt $BC$ tại $K$.
a) Đường thẳng $DK$ cắt lại $(O)$ tại $Y\ne D$. Chứng minh giao điểm của $BY$ và đường trung trực $BK$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp $OFY$.
b) Đường thẳng qua $H$ vuông góc $HE$ cắt $BC$ tại $L$. Đường thẳng $DL$ cắt lại $(O)$ tại $Z\ne D$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là giao điểm các cặp $(BZ,OE)$, $(CY,OF)$, $(BY,CZ)$. Gọi $T=YZ\cap MN$ và $d$ là đường qua $T$ vuông góc $OA$. Chứng minh $d$ đi qua trung điểm $AP$.
Cho tam giác nhọn không cân $ABC$ có các đường cao $AD,BE,CF$, với $D\in BC,E\in CA,F\in AB$. Gọi $H,O,I$ lần lượt là trực tâm, tâm ngoại tiếp, tâm nội tiếp; $M,N,P$ là trung điểm $BC,CA,AB$. Gọi $X,Y,Z$ lần lượt là giao điểm các cặp đường $(AI,NP),(BI,PM),(CI,MN)$.
a) Chứng minh các đường tròn ngoại tiếp $AXD,BYE,CZF$ có hai điểm chung nằm trên $OH$.
b) Các đường $XP,YM,ZN$ cắt lại các đường tròn tương ứng tại $X',Y',Z'$, khác $X,Y,Z$. Gọi $J$ là điểm đối xứng của $I$ qua $O$. Chứng minh $X',Y',Z'$ thẳng hàng trên đường vuông góc $HJ$.
Cho bảng ô vuông $3k\times3k$, với $k$ nguyên dương; ô $(i,j)$ nằm trên cột thứ i từ trái qua phải, hàng thứ j từ dưới lên trên. Đặt $4k$ viên bi, mỗi ô không quá một viên, sao cho:
- Mỗi hàng và mỗi cột đều có ít nhất một viên bi.
- Mỗi viên bi nằm cùng hàng hoặc cùng cột với ít nhất một viên bi khác.
a) Với $k=1$, có bao nhiêu cách đặt bốn viên bi thỏa mãn? Hai cách khác nhau nếu có ô chứa bi trong một cách nhưng không chứa bi trong cách còn lại.
b) Với $k\ge1$, xác định số tự nhiên N lớn nhất sao cho với mọi cách đánh dấu N ô phân biệt, luôn có cách đặt $4k$ viên bi thỏa các điều kiện và tránh mọi ô đã đánh dấu.