Trên mặt phẳng tọa độ, một con cào cào ở điểm $(1,1)$. Nó có thể nhảy từ $A$ sang $B$ khi tọa độ của $A,B$ là các số nguyên dương và tam giác $OAB$ có diện tích $\tfrac12$, với $O$ là gốc tọa độ.
1. Tìm các điểm $(m,n)$ mà con cào cào có thể đến sau hữu hạn bước nhảy.
2. Chứng minh rằng nó có thể đến mỗi điểm nói trên sau ít hơn $|m-n|$ bước.
Lưu ý biên tập: Câu 2 chép đúng cận nghiêm ngặt nhưng sai của nguồn. Chẳng hạn, $(2,1)$ cần một bước, không thể ít hơn một bước. Mệnh đề sửa đúng là **không quá** $|m-n|$ bước; điểm $(1,1)$ cần không bước. Lời giải chứng minh mệnh đề đã sửa.
Cho đường tròn $(O)$ và điểm $A$ nằm ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến $AB,AC$, với các tiếp điểm là $B,C$. Gọi $P$ thuộc tia đối của tia $BA$, $Q$ thuộc tia đối của tia $CA$, sao cho $PQ$ tiếp xúc với $(O)$. Qua $P$ kẻ đường thẳng song song với $AC$, cắt đường thẳng $BC$ tại $E$. Qua $Q$ kẻ đường thẳng song song với $AB$, cắt $BC$ tại $F$.
1. Chứng minh $QE,PF$ luôn đi qua các điểm cố định lần lượt là $M,N$.
2. Chứng minh tích $PM\cdot QN$ không đổi.
Đính chính: Nguồn ghi nhầm các tiếp điểm là $A,B$; đúng phải là $B,C$.
Cho số nguyên $n\ge3$ và các số thực $x_1,\ldots,x_n$ thỏa mãn
$$\sum_{i=1}^n x_i=0,\qquad \sum_{i=1}^n x_i^2=n(n-1),\qquad x_1\ge x_2\ge\cdots\ge x_n.$$
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $f=x_1+x_2$.
Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi $a_0=1$, $a_1=3$ và
$$a_{n+2}=1+\left\lfloor\frac{a_{n+1}^2}{a_n}\right\rfloor\quad(n\ge0).$$
Chứng minh $a_na_{n+2}-a_{n+1}^2=2^n$ với mọi số nguyên $n\ge0$.
Có $n$ học sinh ngồi quanh một bàn tròn, mỗi em có một số kẹo, và tổng số kẹo là một bội của $n$. Được thực hiện quy tắc: nếu một học sinh có nhiều kẹo hơn bạn ngay bên phải thì chuyển **một chiếc kẹo** từ em đó sang bạn bên phải.
Chứng minh rằng bằng cách chọn các lần chuyển thích hợp, sau hữu hạn bước, mọi học sinh có số kẹo bằng nhau.
Làm rõ bản nguồn: Cụm “một chiếc kẹo” bị thiếu trong đề in, nhưng được xác định rõ qua các phương trình trong lời giải nguồn.
Cho số nguyên dương $n$. Chứng minh rằng với mọi số thực dương $x$,
$$\frac{x^n(x^{n+1}+1)}{x^n+1}\le\left(\frac{x+1}{2}\right)^{2n+1}.$$
Hỏi đẳng thức xảy ra khi nào?
Cho dãy số thực $(x_n)$ xác định bởi
$$x_1=1,\qquad x_n=\frac{2n}{(n-1)^2}\sum_{i=1}^{n-1}x_i\quad(n\ge2).$$
Với mỗi số nguyên dương $n$, đặt $y_n=x_{n+1}-x_n$. Chứng minh rằng $(y_n)$ có giới hạn hữu hạn khi $n\to+\infty$.
Trong mặt phẳng, cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$. Xét điểm $P$ di động trên tiếp tuyến tại $B$ của $(O)$ sao cho $P\ne B$. Đường thẳng $PA$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $C$. Gọi $D$ là điểm đối xứng với $C$ qua $O$. Đường thẳng $PD$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $E$.
1. Chứng minh rằng $AE,BC,PO$ cùng đi qua một điểm $M$.
2. Xác định vị trí của $P$ để tam giác $AMB$ có diện tích lớn nhất, và tính giá trị lớn nhất đó theo bán kính $R$.
Cho ngũ giác lồi $ABCDE$ có độ dài mỗi cạnh và độ dài các đường chéo $AC,AD$ không vượt quá $\sqrt3$. Lấy 2011 điểm phân biệt tùy ý nằm trong ngũ giác đó. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn đơn vị có tâm nằm trên cạnh của ngũ giác đã cho chứa ít nhất 403 điểm trong số các điểm đã lấy.
Cho tam giác $ABC$ không cân tại $A$ và có các góc $ABC,ACB$ nhọn. Xét điểm $D$ di động trên cạnh $BC$ sao cho $D$ không trùng với $B,C$ và hình chiếu vuông góc của $A$ trên $BC$. Đường thẳng $d$ vuông góc với $BC$ tại $D$ cắt các đường thẳng $AB,AC$ tương ứng tại $E,F$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $AEF,BDE,CDF$. Chứng minh rằng bốn điểm $A,M,N,P$ cùng nằm trên một đường tròn khi và chỉ khi $d$ đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.
Cho $n$ là số nguyên dương. Chứng minh rằng đa thức
$$P(x,y)=x^n+xy+y^n$$
không thể viết được dưới dạng $P(x,y)=G(x,y)H(x,y)$, trong đó $G,H$ là các đa thức với hệ số thực, khác đa thức hằng.
