(a) Với số nguyên dương $n$ nào thì số $11\ldots1-77\ldots7$ là số chính phương? (Ở đây có $2n$ chữ số $1$ và $n$ chữ số $7$.)
(b) Hãy xác định tất cả các chữ số $b$ sao cho $11\ldots1-bb\ldots b$ là số chính phương? (Ở đây có $2n$ số $1$ và $n$ số $b$.)
(a) Có bao nhiêu cặp số nguyên liên tiếp $x,x+1$ sao cho $x$ là bội của $9$ và $x+1$ là bội của $25$? Hãy xác định các cặp đó.
(b) Có bao nhiêu cặp số $(x,x+1)$ sao cho $x$ là bội của $21$ và $x+1$ là bội của $165$?
(c) Hãy xác định các bộ ba số nguyên liên tiếp $(x,x+1,x+2)$ thỏa mãn $x$ là bội của $9$, $x+1$ là bội của $25$ và $x+2$ là bội của $4$.
Cho một tam giác $ABC$ cố định vuông ở $A$ và đường cao $AH$. Từ chân $H$ của đường cao ta hạ các đường vuông góc $HP$ và $HQ$ theo thứ tự xuống các cạnh $AB$ và $AC$. Cho một điểm $M$ chạy tùy ý trên đường thẳng $PQ$; đường thẳng vuông góc với đường thẳng $MH$ ở điểm $M$ cắt đường thẳng $AB$ ở $R$ và cắt đường thẳng $AC$ ở $S$.
(a) Có những nhận xét gì về đường tròn qua ba điểm $A,R,S$ và chứng minh những nhận xét đó.
(b) Nếu ta lấy đi hai vị trí của $M_1,M_2$ của điểm $M$ thì ta sẽ có các vị trí tương ứng $R_1,R_2$ của điểm $R$, $S_1,S_2$ của điểm $S$. Chứng minh rằng tỉ số $R_1R_2/S_1S_2$ không thay đổi. Tam giác $ABC$ phải thỏa mãn điều kiện gì để cho $R$ và $S$ chạy với những vận tốc như nhau (khi $M$ chạy trên đường thẳng $PQ$).
(c) Ta lấy điểm $K$ đối xứng với điểm $H$ qua tâm đối xứng $M$. Đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với đường thẳng $PQ$ cắt đường thẳng $RS$ ở điểm $D$. Chứng minh rằng $\angle BHR=\angle DHR$. Hãy phát hiện thêm một đẳng thức tương tự.
Ghi chú phạm vi: Cách dựng với vị trí tùy ý và khẳng định in ở (c) cần được xem xét; giữ nguyên nội dung nguồn.
Trong không gian cho $12$ đường thẳng chứa $12$ cạnh của một khối lập phương có cạnh bằng đơn vị. Người ta cắt $12$ đường thẳng đó bằng một mặt phẳng $P$. Hãy xét sự tương giao của mặt phẳng $P$ và $12$ đường thẳng nói trên. Biện luận theo các vị trí có thể của $P$.