Cho các số nguyên dương $m,n,p,q$ với $p\lt m$, $q\lt n$ và các điểm $A(0,0)$, $B(p,0)$, $C(m,q)$, $D(m,n)$. Các đường đi $f:A\to D$, $g:B\to C$ gồm những bước đơn vị sang phải hoặc lên trên. Gọi $S$ là số cặp có thứ tự $(f,g)$ không có điểm chung. Chứng minh
$$S=\binom{m+n}{n}\binom{m+q-p}{q}-\binom{m+q}{q}\binom{m+n-p}{n}.$$
Gọi $A_0,B_0,C_0$ lần lượt là trung điểm các đường cao $AH,BK,CL$ của tam giác không đều $ABC$. Gọi $O,I$ là tâm ngoại tiếp, tâm nội tiếp. Đường tròn nội tiếp tiếp xúc $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. Chứng minh bốn đường thẳng $A_0D,B_0E,C_0F,OI$ đồng quy.
Hàm số thỏa $f(0,0)=5^{2003}$, $f(0,n)=0$ với mọi $n\in\mathbb N$, và với mọi số nguyên $m\gt 0,n$,
$$f(m,n)=f(m-1,n)-2\left\lfloor\frac{f(m-1,n)}2\right\rfloor+\left\lfloor\frac{f(m-1,n-1)}2\right\rfloor+\left\lfloor\frac{f(m-1,n+1)}2\right\rfloor.$$
Chứng minh tồn tại số nguyên dương $M$ sao cho $f(M,n)=1$ khi $|n|\le(5^{2003}-1)/2$, và bằng không với các $n$ khác.
Lưu ý biên tập: giữ nguyên điều kiện in $n\in\mathbb N$ ở trên. Điều kiện này thiếu các chỉ số âm và còn mâu thuẫn với $f(0,0)$ nếu quy ước $0\in\mathbb N$. Lời giải dùng điều kiện đầu đầy đủ theo ý định của đề: $f(0,n)=0$ với mọi số nguyên $n\ne0$. Dấu ngoặc trong nguồn được hiểu là phần nguyên.
Cho $M,N,P$ là trung điểm các cạnh $BC,CA,AB$ của tam giác $ABC$. Các điểm $M_1,N_1,P_1$ thuộc chu vi tam giác sao cho mỗi đường $MM_1,NN_1,PP_1$ chia đôi chu vi. (a) Chứng minh ba đường đồng quy tại $K$. (b) Chứng minh ít nhất một trong các tỷ số $KA/BC$, $KB/CA$, $KC/AB$ không nhỏ hơn $1/\sqrt3$.
“Chia đôi chu vi” nghĩa là hai cung đường gấp khúc trên biên nối cặp đầu mút có độ dài bằng nhau.
Gọi $\mathcal A$ là tập các hoán vị của $1,2,\ldots,2003$ không cố định tập con thực sự nào của $\{1,\ldots,2003\}$. Với $a=(a_1,\ldots,a_{2003})\in\mathcal A$, đặt
$$d(a)=\sum_{i=1}^{2003}(a_i-i)^2.$$
(a) Tìm giá trị nhỏ nhất $d_0$. (b) Tìm tất cả hoán vị đạt $d_0$.
Lưu ý biên tập: “không cố định tập con thực sự” được hiểu là không có tập con thực sự khác rỗng nào bất biến theo ánh xạ $i\mapsto a_i$. Phải loại tập rỗng vì nó luôn bất biến. Do đó các hoán vị được xét chính là những chu trình có độ dài $2003$.
Kí hiệu $\mathbb R$ là tập hợp các số thực. Một hàm $f:\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa mãn
$$f(\cot x)=\cos2x+\sin2x$$
với mọi $0\lt x\lt \pi$. Xác định hàm $g(x)=f(x)f(1-x)$ với $-1\le x\le1$. Hãy xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $g(x)$ trên đoạn $[-1;1]$.
Cho hai đường tròn $C_1$ và $C_2$ tiếp xúc ngoài nhau tại điểm $M$ và bán kính của $C_2$ lớn hơn của $C_1$. Một điểm $A$ chuyển động trên $C_2$ không thẳng hàng với đường thẳng đi qua hai tâm. $B$ và $C$ là các điểm trên $C_1$ thỏa mãn $AB$ và $AC$ tiếp xúc với $C_1$. Các đường thẳng $BM,CM$ giao với $C_2$ lần nữa tại $E,F$ tương ứng. $D$ là giao của tiếp tuyến tại $A$ và đường thẳng $EF$. Chứng minh rằng quỹ tích của điểm $D$ khi mà $A$ thay đổi là một đường thẳng.
Cho $S_n$ là số các hoán vị của $(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ của $(1,2,\ldots,n)$ thỏa mãn $1\le|a_k-k|\le2$ với mọi $k$. Chứng minh rằng
$$\frac74S_{n-1}\lt S_n\lt 2S_{n-1}$$
với mỗi số nguyên $n\gt 6$.
Hãy xác định số nguyên dương $n$ lớn nhất thỏa mãn rằng các phương trình sau có nghiệm số nguyên $x,y_1,y_2,\ldots,y_n$:
$$(x+1)^2+y_1^2=(x+2)^2+y_2^2=\cdots=(x+n)^2+y_n^2.$$
Xác định đa thức
$$p(x)=4x^3-2x^2-15x+9,\qquad q(x)=12x^3+6x^2-7x+1.$$
Chứng minh rằng mỗi đa thức có ít nhất ba nghiệm thực phân biệt. Cho $A$ là nghiệm số lớn nhất của $p(x)$ và $B$ là nghiệm lớn nhất của đa thức $q(x)$. Chứng minh rằng $A^2+3B^2=4$.
Kí hiệu $\mathbb R^+$ là tập hợp các số thực dương. Kí hiệu $\mathcal F$ là tập tất cả các hàm $f:\mathbb R^+\to\mathbb R^+$ thỏa mãn
$$f(3x)\ge f(f(2x))+x$$
với mọi $x\gt 0$. Hãy xác định hằng số thực $\alpha$ lớn nhất thỏa mãn $f(x)\ge\alpha x$ với mọi $f\in\mathcal F$ và mọi $x\in\mathbb R^+$.