Ngân hàng câu hỏi VMO 2014

Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb Z\to\mathbb Z$ thỏa mãn
$$f(2m+f(m)+f(m)f(n))=nf(m)+m\qquad(m,n\in\mathbb Z).$$

Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc $Oxy$, xét tập điểm nguyên $T=\{(x,y)\in\mathbb Z^2:-20\le x,y\le20,\ (x,y)\ne(0,0)\}$. Tô màu sao cho với mỗi điểm $(x,y)\in T$ có đúng một trong hai điểm $(x,y)$ và $(-x,-y)$ được tô. Gọi $N$ là số các bộ $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ mà cả hai điểm đều được tô và $x_1\equiv2x_2$, $y_1\equiv2y_2\pmod {41}$. Tìm tất cả giá trị có thể của $N$.

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Trên cung $BC$ không chứa $A$ lấy điểm $D$. Giả sử $CD$ cắt $AB$ tại $E$, $BD$ cắt $AC$ tại $F$. Gọi $(K)$ là đường tròn nằm trong tam giác $EBD$, tiếp xúc $EB,ED$ và $(O)$. Gọi $(L)$ là đường tròn nằm trong tam giác $FCD$, tiếp xúc $FC,FD$ và $(O)$.
(a) Gọi $M$ là tiếp điểm của $(K)$ với $BE$, $N$ là tiếp điểm của $(L)$ với $CF$. Chứng minh đường tròn đường kính $MN$ luôn đi qua một điểm cố định khi $D$ di chuyển.
(b) Đường thẳng qua $M$ song song với $CE$ cắt $AC$ tại $P$; đường thẳng qua $N$ song song với $BF$ cắt $AB$ tại $Q$. Chứng minh hai đường tròn ngoại tiếp $AMP,ANQ$ cùng tiếp xúc với một đường tròn cố định khi $D$ di chuyển.
Lưu ý nguyên văn: nguồn viết nhầm $(L)$ là “tâm đường tròn”; các tiếp xúc và lời giải sau đó rõ ràng dùng $(L)$ là đường tròn. Phát biểu cho toàn cung có vấn đề về cấu hình, được nêu rõ trong lời giải.

Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, có đường cao $AD$ và $P$ thuộc $AD$. Các đường thẳng $PB,PC$ lần lượt cắt $CA,AB$ tại $E,F$.
(a) Giả sử tứ giác $AEDF$ nội tiếp. Chứng minh $\dfrac{PA}{PD}=(\tan B+\tan C)\cot\dfrac A2$.
(b) Gọi $CP$ cắt đường thẳng qua $B$ vuông góc với $AB$ tại $M$; $BP$ cắt đường thẳng qua $C$ vuông góc với $AC$ tại $N$. Gọi $K$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $MN$. Chứng minh $\angle BKC+\angle MAN$ không đổi khi $P$ di chuyển trên $AD$.
Các giao điểm và góc được hiểu ở vị trí không suy biến. Lưu ý phạm vi nguồn: câu (b), nếu dùng góc thông thường trên toàn đoạn đường cao, không đúng như đã in; lời giải giữ lập luận trong cấu hình của nguồn và đưa kiểm tra phản ví dụ chính xác.

Tìm tất cả đa thức $P(x),Q(x)$ có hệ số nguyên sao cho dãy số luân phiên bắt đầu bởi $x_0=2014$ và
$$x_{2n+1}=P(x_{2n}),\qquad x_{2n+2}=Q(x_{2n+1})\qquad(n\ge0)$$
có tính chất: mỗi số nguyên dương là ước của một số hạng khác không nào đó của dãy.
Làm rõ chỉ số: nguồn in $x_{2n+1}=P(x_{2n}),\ x_{2n}=Q(x_{2n-1})$ với $n\ge1$, nên chưa xác định $x_1$. Công thức ở trên ghi rõ cách khởi tạo dự định $x_1=P(2014)$, đúng như lời giải nguồn sử dụng.

Cho $m,n,p$ là các số tự nhiên không đồng thời bằng không. Không gian tọa độ được chia thành các khối lập phương đơn vị bởi các mặt phẳng tọa độ song song cách đều. Điền vào mỗi khối lập phương đơn vị một số từ $1$ đến $60$. Cách điền gọi là Điện Biên nếu trong mỗi hình hộp chữ nhật có các mặt trên hệ mặt đã cho và tập hợp kích thước ba cạnh xuất phát từ một đỉnh là $2m+1,2n+1,2p+1$ (tính bằng số khối lập phương trên cạnh), số ở khối lập phương có tâm trùng tâm hình hộp bằng trung bình cộng các số ở tám khối lập phương góc. Hỏi có bao nhiêu cách điền Điện Biên?
Nguồn quy định: những cách điền là giống nhau nếu trong mỗi cách, ta chọn một hình lập phương làm tâm thì các số ở các khối lập phương có cùng vị trí tương đối với tâm trong hai cách điền bằng nhau. Sự khác nhau giữa cố định gốc và đồng nhất theo phép tịnh tiến được phân tích rõ trong lời giải.

Cho hai dãy số dương $(x_n),(y_n)$ xác định bởi $x_1=1$, $y_1=\sqrt3$ và
$$\begin{cases}x_{n+1}y_{n+1}-x_n=0,\\x_{n+1}^2+y_n=2\end{cases}\qquad(n=1,2,\ldots).$$
Chứng minh rằng hai dãy số trên hội tụ và tìm giới hạn của chúng.

Cho đa thức $P(x)=(x^2-7x+6)^{2n}+13$ với $n$ là số nguyên dương. Chứng minh rằng $P(x)$ không thể biểu diễn được dưới dạng tích của $n+1$ đa thức khác hằng số với hệ số nguyên.

Cho đa giác đều có $103$ cạnh. Tô màu đỏ $79$ đỉnh của đa giác và tô màu xanh các đỉnh còn lại. Gọi $A$ là số cặp đỉnh đỏ kề nhau và $B$ là số cặp đỉnh xanh kề nhau.
(a) Tìm tất cả các giá trị có thể nhận được của cặp $(A,B)$.
(b) Xác định số cách tô màu các đỉnh của đa giác để $B=14$. Hai cách tô được xem như nhau nếu nhận được từ nhau qua phép quay quanh tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác.

Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ với $AB\lt AC$. Gọi $I$ là trung điểm cung $BC$ không chứa $A$. Trên $AC$ lấy điểm $K$ khác $C$ sao cho $IK=IC$. Đường thẳng $BK$ cắt $(O)$ tại $D$ ($D\ne B$) và cắt đường thẳng $AI$ tại $E$. Đường thẳng $DI$ cắt đường thẳng $AC$ tại $F$.
(a) Chứng minh rằng $EF=BC/2$.
(b) Trên $DI$ lấy điểm $M$ sao cho $CM$ song song với $AD$. Đường thẳng $KM$ cắt đường thẳng $BC$ tại $N$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $BKN$ cắt $(O)$ tại $P$ ($P\ne B$). Chứng minh rằng đường thẳng $PK$ đi qua trung điểm đoạn thẳng $AD$.

Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, trong đó $B,C$ cố định và $A$ thay đổi trên $(O)$. Trên các tia $AB,AC$ lần lượt lấy các điểm $M,N$ sao cho $MA=MC$, $NA=NB$. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AMN$, $ABC$ cắt nhau tại $P$ ($P\ne A$). Đường thẳng $MN$ cắt đường thẳng $BC$ tại $Q$.
(a) Chứng minh rằng ba điểm $A,P,Q$ thẳng hàng.
(b) Gọi $D$ là trung điểm $BC$. Các đường tròn có tâm là $M,N$ và cùng đi qua $A$ cắt nhau tại $K$ ($K\ne A$). Đường thẳng qua $A$ vuông góc với $AK$ cắt $BC$ tại $E$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADE$ cắt $(O)$ tại $F$ ($F\ne A$). Chứng minh rằng đường thẳng $AF$ đi qua một điểm cố định.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$$T=\frac{x^3y^4z^3}{(x^4+y^4)(xy+z^2)^3}+\frac{y^3z^4x^3}{(y^4+z^4)(yz+x^2)^3}+\frac{z^3x^4y^3}{(z^4+x^4)(zx+y^2)^3}$$
với $x,y,z$ là các số thực dương.

Tìm tất cả các bộ số gồm $2014$ số hữu tỉ không nhất thiết phân biệt, thỏa mãn điều kiện: nếu bỏ đi một số bất kì trong bộ số đó thì $2013$ số còn lại có thể chia thành $3$ nhóm rời nhau sao cho mỗi nhóm gồm $671$ số và tích tất cả các số trong mỗi nhóm bằng nhau.