Cho số nguyên tố lẻ $p$ thỏa mãn $2^h\not\equiv1\pmod p$ với mọi số nguyên $1\le h\lt p-1$, và số nguyên chẵn $a$ thỏa mãn $p/2\lt a\lt p$. Xét dãy $a_0=a$, $a_{n+1}=p-b_n$ với $n\ge0$, trong đó $b_n$ là ước số lẻ lớn nhất của $a_n$. Chứng minh dãy $(a_n)$ tuần hoàn và tìm chu kì dương nhỏ nhất của nó.
Hai đa thức hệ số thực $f(x),g(x)$ được gọi là “đồng dạng” nếu tồn tại $q\in\mathbb R$ sao cho $f(x)=qg(x)$ với mọi $x\in\mathbb R$.
1. Chứng minh tồn tại đa thức hệ số thực $P(x)$ bậc 1999 sao cho $P(x)^2-4$ và $(P'(x))^2(x^2-4)$ đồng dạng.
2. Có bao nhiêu đa thức bậc 1999 thỏa mãn điều kiện trên?
Cho đa giác lồi $H$. Chứng minh rằng với mọi số thực $a\in(0,1)$, tồn tại sáu điểm phân biệt $A_1,A_2,\ldots,A_6$ nằm trên các cạnh của $H$, được đánh số theo chiều kim đồng hồ, thỏa mãn đồng thời:
1. $\overrightarrow{A_1A_2}=\overrightarrow{A_5A_4}=a\overrightarrow{A_6A_3}$;
2. các đường thẳng $A_1A_2$ và $A_5A_4$ cách đều đường thẳng $A_6A_3$.
Cho dãy số thực dương $(u_n)$. Với mỗi số nguyên dương $n$, kí hiệu $k_n$ là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn $\sum_{i=1}^{k_n}1/i\ge\sum_{i=1}^n u_i$. Chứng minh rằng dãy $(k_{n+1}/k_n)$ có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn.
Cho tam giác $A_1A_2A_3$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Một đường tròn $(K_1)$ tiếp xúc với các cạnh $A_1A_2,A_1A_3$ và tiếp xúc trong với đường tròn $(O)$ lần lượt tại các điểm $M_1,N_1,P_1$. Các điểm $M_1,N_2,P_2$ và $M_3,N_3,P_3$ xác định một cách tương tự. Chứng minh rằng các đoạn thẳng $M_1N_1,M_2N_2,M_3N_3$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn.
Cho $p>2$ là một số nguyên tố. Xét đa giác có $p$ cạnh với một con khỉ tại mỗi đỉnh. Người ta cho $p$ hạt đậu cho mỗi con khỉ với quy tắc như sau: Hạt đậu đầu tiên được cho một con khỉ nào đó, hạt đậu tiếp theo cho con khỉ ở đỉnh thứ ba tính từ vị trí của con khỉ nhận được hạt đậu đầu tiên theo chiều kim đồng hồ, hạt đậu thứ ba được cho con khỉ thứ năm tính từ vị trí con khỉ được nhận hạt đậu thứ hai theo chiều kim đồng hồ và cứ như thế. Tức là hạt đậu thứ $k+1$ được cho con khỉ tại đỉnh thứ $2k+1$ tính từ vị trí của con khỉ được nhận hạt đậu thứ $k$.
1. Hỏi có bao nhiêu con khỉ không được nhận hạt đậu nào?
2. Có bao nhiêu cạnh của đa giác có tính chất cả hai con khỉ ở đầu và cuối của cạnh đó đều nhận được các hạt đậu?
Cho tam giác $\triangle ABC$. Với $A'$ là trung điểm của cung $BC$ của một đường tròn ngoại tiếp không chứa $A$. $B'$ và $C'$ được xác định tương tự. Các đoạn thẳng $A'B',B'C'$ và $C'A'$ giao nhau với các cạnh của tam giác tại sáu điểm, hai trên mỗi cạnh. Các điểm đó chia mỗi cạnh của tam giác thành ba phần. Chứng minh rằng ba đoạn ở giữa mỗi phần của cạnh bằng nhau khi và chỉ khi tam giác $ABC$ đều.
Dãy $a_1,a_2,a_3,\ldots$ được xác định bởi $a_1=1$, $a_2=2$ và $a_{n+2}=3a_{n+1}-a_n$. Dãy $b_1,b_2,b_3,\ldots$ được xác định bởi $b_1=1$, $b_2=4$, $b_{n+2}=3b_{n+1}-b_n$. Chứng minh rằng các số nguyên dương $a,b$ thoả mãn $5a^2-b^2=4$ khi và chỉ khi $a=a_n$ và $b=b_n$ với một số nguyên dương nào đó.
Cho bốn tia $OA,OB,OC,OD$ trong không gian sao cho góc giữa hai trong chúng là bằng nhau. Chứng minh rằng khi mà một tia thay đổi $OX$, thì tổng các cosin của các góc $\widehat{XOA},\widehat{XOB},\widehat{XOC},\widehat{XOD}$ là hằng số và tổng các bình cosin của các góc đó cũng là hằng số.
Hãy xác định tất cả các hàm $f(n)$ xác định trên tập các số nguyên không âm với các giá trị trong $\{0,1,2,\ldots,2000\}$ thoả mãn các điều kiện sau:
(a) $f(n)=n$ với $0\le n\le2000$.
(b) $f(f(m)+f(n))=f(m+n)$ với mọi $m,n$ nguyên dương.