Trong mặt phẳng cho $3n$ điểm ($n>1$), không có ba điểm nào thẳng hàng và khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ không vượt quá $1$. Chứng minh có thể dựng $n$ tam giác đôi một rời nhau sao cho (1) mỗi điểm đã cho là đỉnh của đúng một tam giác và (2) tổng diện tích nhỏ hơn $\tfrac12$. Hai tam giác rời nhau nếu không có điểm chung ở bên trong cũng như trên cạnh.
Nguồn được cung cấp không ghi điểm từng bài. Mỗi bài dùng 1 điểm biên tập để tương thích khi nhập; đây không phải thang điểm chính thức.
Với mỗi số nguyên dương $n$, gọi $f(n)$ là số nguyên lớn nhất sao cho $2^{f(n)}$ chia hết số
$$a_n=\sum_{i=0}^{\lfloor(n-1)/2\rfloor}\binom n{2i+1}3^i.$$
Tìm mọi số nguyên dương $n$ thỏa mãn $f(n)=1996$.
Lưu ý ký hiệu: nguồn in $\binom{2i+1}{n}$, đặt số phần tử chọn phía trên tổng số, phù hợp với ký hiệu tổ hợp đảo vị trí ở chỗ khác và khai triển nhị thức trong lời giải. Bản này công khai chuẩn hóa thành $\binom n{2i+1}$. Nếu đọc ký hiệu in theo quy ước thông thường là tổng số ở trên thì tổng bằng không và $f(n)$ không xác định.
Nguồn được cung cấp không ghi điểm từng bài. Mỗi bài dùng 1 điểm biên tập để tương thích khi nhập; đây không phải thang điểm chính thức.
Cho ba điểm $A,B,C$ không thẳng hàng. Với mỗi điểm $M$ trong mặt phẳng, gọi $M_1$ là ảnh của $M$ qua đối xứng trục $AB$, $M_2$ là ảnh của $M_1$ qua đối xứng trục $BC$, và $M'$ là ảnh của $M_2$ qua đối xứng trục $CA$. Xác định tất cả các điểm $M$ để $MM'$ nhỏ nhất, gọi khoảng cách nhỏ nhất đó là $d$. Chứng minh rằng với bất kỳ thứ tự khác nào của ba phép đối xứng, cho ảnh $M''$, khoảng cách nhỏ nhất $MM''$ vẫn bằng $d$.
Nguồn được cung cấp không ghi điểm từng bài. Mỗi bài dùng 1 điểm biên tập để tương thích khi nhập; đây không phải thang điểm chính thức.
Muốn mời một số học sinh tới dự buổi gặp mặt sao cho mỗi em chưa quen ít nhất $56$ em khác được mời, và với mỗi cặp hai em chưa quen nhau đều có ít nhất một em được mời quen cả hai. Số học sinh được mời có thể là $65$ không?
Nguồn được cung cấp không ghi điểm từng bài. Mỗi bài dùng 1 điểm biên tập để tương thích khi nhập; đây không phải thang điểm chính thức.
Tìm mọi số thực $a$ để dãy số xác định bởi
$$x_0=\sqrt{1996},\qquad x_{n+1}=\frac a{1+x_n^2}\quad(n=0,1,2,\ldots)$$
có giới hạn hữu hạn khi $n\to\infty$.
Nguồn được cung cấp không ghi điểm từng bài. Mỗi bài dùng 1 điểm biên tập để tương thích khi nhập; đây không phải thang điểm chính thức.
Hãy xác định tất cả các số thực $x,y$ sao cho
$$\begin{cases}\sqrt{3x}\left(1+\dfrac1{x+y}\right)=2,\\[3pt]\sqrt{7y}\left(1-\dfrac1{x+y}\right)=4\sqrt2.\end{cases}$$
$SABC$ là một tứ diện. $DAB,EBC,FCA$ là các tam giác trong mặt phẳng của $ABC$ đồng dạng với các tam giác $SAB,SBC,SCA$ tương ứng. $O$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $DEF$. Giả sử rằng $K$ là mặt cầu ngoại tiếp của $SABC$ đối diện với $O$ (cái mà tiếp xúc với các mặt phẳng $SAB,SBC,SCA,ABC$ nằm trên các cạnh đối diện của $ABC$ tới $S$, nhưng mà nằm trên cùng phía của đối với $SAB$ của $C$, cùng phía đối với $SBC$ của $A$, cùng phía đối với $SCA$ của $B$). Chứng minh rằng $K$ tiếp xúc với mặt phẳng $ABC$ ở điểm $O$.
Cho $n$ là một số nguyên dương và $k$ là một số nguyên dương không lớn hơn $n$. Hãy xác định số các bộ $k$ phần tử có thứ tự $(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ thoả mãn các điều kiện sau đây:
(a) Tất cả các $a_i$ đều phân biệt và thuộc vào $\{1,2,\ldots,n\}$.
(b) $a_r\gt a_s$ với $r\lt s$ nào đó.
(c) $a_r$ có cùng tính chẵn lẻ với $r$ đối với $r$ nào đó.
Hãy xác định tất cả các hàm số $f(n)$ xác định trên tập các số nguyên dương với các giá trị nguyên dương thoả mãn
$$f(n)+f(n+1)=f(n+2)f(n+3)-1996$$
với mọi $n$ nguyên dương.
Tam giác $ABC$ với $BC=1$ và góc $A$ bằng $x$. Kí hiệu $f(x)$ là khoảng cách bé nhất có thể giữa tâm đường tròn nội tiếp và trọng tâm của tam giác. Hãy xác định $f(x)$. Hỏi rằng giá trị lớn nhất của $f(x)$ khi $60^\circ\lt x\lt 180^\circ$ là bao nhiêu?
Cho $x,y,z,w$ là các số thực không âm thoả mãn điều kiện
$$2(wx+wy+wz+xy+xz+yz)+wxy+xyz+yzw+zwx=16.$$
Chứng minh rằng
$$3(w+x+y+z)\ge2(wx+wy+wz+xy+xz+yz).$$