Trong một quốc gia có $n\ge2$ thành phố. Giữa hai thành phố bất kỳ có đường bay trực tiếp theo hai chiều. Người ta muốn cấp phép khai thác các đường bay cho một số hãng hàng không với các điều kiện:
(i) Mỗi đường bay chỉ được cấp phép cho một hãng duy nhất.
(ii) Di chuyển bằng đường bay của một hãng hàng không tùy ý, người ta có thể đi từ một thành phố bất kỳ tới các thành phố còn lại.
Hỏi có thể cấp phép cho tối đa bao nhiêu hãng hàng không thỏa mãn các điều kiện trên?
Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân nội tiếp đường tròn $(O)$, có trực tâm $H$ và $M$ là trung điểm $BC$. Lấy $D$ thuộc tia đối của tia $HA$ sao cho $DM=BC/2$. Gọi $D'$ là điểm đối xứng của $D$ qua $BC$, và $X=AO\cap MD$.
(a) Chứng minh rằng $AM$ đi qua trung điểm của $D'X$.
(b) Định nghĩa $E,F$ tương tự $D$ theo hoán vị vòng quanh $A,B,C$; định nghĩa $Y,Z$ tương tự $X$. Gọi $S$ là giao điểm hai tiếp tuyến của $(O)$ tại $B,C$ và $G$ là hình chiếu vuông góc của trung điểm $AS$ lên $AO$. Chứng minh rằng tồn tại một điểm có cùng phương tích với cả bốn đường tròn $(SGO),(BYE),(CFZ),(O)$.
Cho tam giác $ABC$ không cân nội tiếp đường tròn $(O)$, ngoại tiếp đường tròn $(I)$. Gọi $E=BI\cap AC$, $F=CI\cap AB$. Đường tròn qua $E$, tiếp xúc với đường thẳng $OB$ tại $B$, cắt lại $(O)$ tại $M$. Đường tròn qua $F$, tiếp xúc với $OC$ tại $C$, cắt lại $(O)$ tại $N$. Các đường thẳng $ME,NF$ cắt lại $(O)$ lần lượt tại $P,Q$. Đặt $K=EF\cap BC$, $G=PQ\cap BC$, $H=PQ\cap EF$. Chứng minh rằng trung tuyến từ $G$ của tam giác $GHK$ vuông góc với $OI$.
Một con bọ ở vị trí có tọa độ $x=1$ trên trục số thực. Ở mỗi bước, từ vị trí có tọa độ $x=a$, con bọ có thể nhảy đến $x=a+2$ hoặc $x=a/2$. Chứng minh rằng có tất cả $F_{n+4}-(n+4)$ vị trí khác nhau (kể cả vị trí ban đầu) mà con bọ có thể nhảy đến với không quá $n$ bước nhảy, trong đó $F_0=F_1=1$, $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$ với $n\ge2$.