Cho 44 cái lỗ phân biệt trên một cái rãnh là đường thẳng và 2017 con kiến. Mỗi con kiến sẽ chui lên từ một cái lỗ và bò đến một cái lỗ khác với vận tốc không đổi rồi chui xuống đó. Gọi $T$ là tập các thời điểm mà con kiến chui lên hoặc chui xuống các cái lỗ. Biết rằng vận tốc của các con kiến đôi một khác nhau và $|T|\le45$. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai con kiến nào đó không gặp nhau. Quy ước hai con kiến gặp nhau khi và chỉ khi tồn tại một thời điểm mà cả hai ở cùng một vị trí trên rãnh, kể cả lúc chui lên và xuống.
Với mỗi số nguyên dương $n$, đặt $x_n=\binom{2n}{n}$.
(a) Chứng minh rằng nếu $2017^k/2\lt n\lt 2017^k$ với một số nguyên dương $k$ nào đó thì $x_n$ là bội của 2017.
(b) Tìm tất cả số nguyên dương $h>1$ để tồn tại các số nguyên dương $N,T$ sao cho với mọi $n>N$, dãy $x_n$ tuần hoàn theo modulo $h$ với chu kỳ $T$, nghĩa là $x_{n+T}\equiv x_n\pmod h$.
Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. Gọi $I_b,I_c$ là tâm bàng tiếp góc $B,C$; $P,Q$ là trung điểm $I_bE,I_cF$. Các đường tròn $(PAC),(QAB)$ cắt lại $AB,AC$ tại $R,S$.
(a) Chứng minh $PR,QS,AI$ đồng quy.
(b) Đặt $K=DE\cap I_bI_c$, $J=DF\cap I_bI_c$, $M=EJ\cap FK$. Các đường $PE,QF$ cắt lại $(PAC),(QAB)$ tại $X,Y$. Chứng minh $BY,CX,AM$ đồng quy.
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn cố định $(O)$, với $B,C$ cố định và $A$ di động trên $(O)$ sao cho $AB>BC$. Gọi $M$ là trung điểm của $AC$. Đường tròn đường kính $BM$ cắt $(O)$ lần nữa tại $R$. Đường thẳng $RM$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $Q$, cắt $BC$ tại $P$. Đường tròn đường kính $BP$ cắt $AB,BO$ lần lượt tại các điểm thứ hai $K,S$.
(a) Chứng minh rằng $SR$ đi qua trung điểm của $KP$.
(b) Gọi $N$ là trung điểm của $BC$. Trục đẳng phương của hai đường tròn đường kính $AN,BM$ cắt $SR$ tại $E$. Chứng minh rằng $ME$ luôn đi qua một điểm cố định.
Cho 2017 số thực dương $a_1,a_2,\ldots,a_{2017}$. Với mỗi $n>2017$, đặt
$$a_n=\max\{a_{i_1}a_{i_2}a_{i_3}:i_1+i_2+i_3=n,\ 1\le i_1\le i_2\le i_3\le n-1\}.$$
Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $m\le2017$ và số nguyên dương $N>4m$ sao cho $a_na_{n-4m}=a_{n-2m}^2$ với mọi $n>N$.
Với mỗi số nguyên dương $n$, xét một hoán vị $a_1,a_2,\ldots,a_{2n}$ của $2n$ số nguyên dương đầu tiên. Hoán vị được gọi là đẹp nếu các số ở vị trí đối nhau thỏa $a_i+a_{n+i}=2n+1$ với $1\le i\le n$, đồng thời $2n$ hiệu $a_i-a_{i+1}$ đôi một không đồng dư modulo $2n+1$. Quy ước $a_{2n+1}=a_1$.
(a) Với $n=6$, hãy chỉ ra một hoán vị đẹp.
(b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ luôn tồn tại một hoán vị đẹp.
