Ngân hàng câu hỏi VMO 1994

Cho hình bình hành $ABCD$. Lấy $E$ trên cạnh $BC$, $F$ trên cạnh $CD$ sao cho hai tam giác $ABE$ và $BCF$ có diện tích bằng nhau. Đường chéo $BD$ cắt $AE$ tại $M$, cắt $AF$ tại $N$.
(a) Chứng minh tồn tại tam giác có ba cạnh bằng $BM,MN,ND$.
(b) Khi $E,F$ thay đổi sao cho $MN$ giảm, chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ấy cũng giảm.

Tình trạng biên tập: đề nguyên văn cho phép đầu mút và sai tại đó. Các lời giải nguồn chứng minh phiên bản có điều kiện $E,F$ nằm hẳn trong các cạnh, tương đương $0\lt BE/BC=CF/CD\lt1$. Điều kiện thêm về điểm trong là sửa đổi thực chất, không suy ra từ hai tam giác diện tích đã cho. Giữ đề gốc phía trên để cần xem xét.

Nguồn được cung cấp không ghi điểm từng bài. Mỗi bài dùng 1 điểm biên tập để tương thích khi nhập; đây không phải thang điểm chính thức.

PDF được cung cấp không ghi thời gian làm bài. Bản này dùng 240 phút mỗi buổi theo yêu cầu của người dùng, tổng 480 phút cho hai buổi; đây là quy ước biên tập.

Ngày in là 18–19/5/1994; việc nhóm bài 1–3 và 4–6 theo hai buổi là biên tập vì không in ranh giới buổi riêng. Hệ số chấm của bộ nhập: đúng 1, sai 0, bỏ trống 0. Cả sáu bài tự luận cần chấm thủ công; hướng dẫn chấm là biên tập, không phải điểm thành phần chính thức.

Với số nguyên dương $N$ cho trước, xét
$$x^2+y^2+z^2+t^2-Nxyzt-N=0.$$
(a) Chứng minh có vô số giá trị $N$ để phương trình có nghiệm nguyên dương $x,y,z,t$.
(b) Nếu $N=4^k(8m+7)$, với $k,m$ nguyên không âm, chứng minh phương trình không có nghiệm nguyên dương.

Cho đa thức $P(x)$ bậc $4$ có bốn nghiệm dương. Chứng minh phương trình
$$\frac{1-4x}{x^2}P(x)+\left(1-\frac{1-4x}{x^2}\right)P'(x)-P''(x)=0$$
cũng có bốn nghiệm dương. Nếu bốn nghiệm đã cho phân biệt thì bốn nghiệm thu được dưới đây cũng phân biệt; trường hợp tính cả bội cũng được giải thích.

Cho tam giác đều $ABC$ và điểm $M$ bất kỳ trong mặt phẳng. Gọi $A',B',C'$ lần lượt là các điểm đối xứng của $A,B,C$ qua $M$.
(a) Chứng minh có duy nhất điểm $P$ cách đều $A,B'$, cách đều $B,C'$, và cách đều $C,A'$.
(b) Gọi $D$ là trung điểm $AB$. Khi $M$ thay đổi, $M\ne D$, đặt $N=DM\cap AP$. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác $MNP$ luôn đi qua một điểm cố định.
Miền xác định của phép dựng (b): chỉ xét đường tròn ngoại tiếp khi $M,N,P$ là ba điểm phân biệt không thẳng hàng. Điều kiện in $M\ne D$ chưa tự bảo đảm điều đó; các cấu hình không xác định được bàn rõ trong lời giải.

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa mãn
$$f(\sqrt2\,x)+f((4+3\sqrt2)x)=a f((2+\sqrt2)x)\qquad(x\in\mathbb R).$$
Giữ tham số $a$ đúng như bản in. Phân loại bên dưới đúng với mỗi $a$ thực cố định; lời giải nguồn lại chuyên biệt hệ số bằng $2$. Không giả sử liên tục, đo được hay điều kiện chính quy nào khác.

Tính tổng
$$T=\sum_{\substack{n_1,\ldots,n_{1994}\ge0\\n_1+2n_2+\cdots+1994n_{1994}=1994}}\frac{1}{n_1!n_2!\cdots n_{1994}!\,(n_2+2n_3+\cdots+1993n_{1994})!}.$$
Các thành phần là số nguyên không âm, quy ước $0!=1$. Công thức nguồn thiếu dấu tổng nhưng câu ngay sau quy định lấy tổng trên mọi bộ như vậy; ở đây khôi phục dấu tổng.

Giải hệ phương trình sau đây
$$\begin{cases}x^3+3x-3+\ln(x^2-x+1)=y,\\ y^3+3y-3+\ln(y^2-y+1)=z,\\ z^3+3z-3+\ln(z^2-z+1)=x.\end{cases}$$

Cho tam giác $ABC$. Lấy đối xứng các đỉnh của tam giác qua các cạnh đối diện của nó để được tam giác $A'B'C'$. Hãy xác định điều kiện cần và đủ trên tam giác $ABC$ để hai tam giác $ABC$ và $A'B'C'$ là tương đương.

Xác định dãy $x_0,x_1,x_2,\ldots$ bởi $x_0=a$ ở đó $0\lt a\lt 1$ và
$$x_{n+1}=\frac4{\pi^2}\left(\arccos x_n+\frac\pi2\right)\arcsin x_n.$$
Chứng minh rằng dãy đó hội tụ và hãy xác định giới hạn của chúng.

Có $n+1$ chiếc hộp được xếp trên một vòng tròn. Có một chiếc hộp có chứa $n$ viên đá, những chiếc khác thì trống không. Ta xác định một cách chuyển đổi như sau: chọn hai chiếc hộp $A$ và $B$, lấy hai viên đá từ $A$, một viên đặt nó vào một chiếc hộp gần kề với $B$, viên còn lại được đặt gần kề với $A$. Chú ý rằng ta có thể lấy $A=B$. Với $n$ như thế nào để sau khi thực hiện một chuỗi các chuyển đổi nói trên để nhận được rằng mỗi viên đá ở trong một chiếc hộp.

Giả sử $S$ là một hình cầu tâm $O$. $G$ và $G'$ là hai đường tròn lớn vuông góc trên $S$. Lấy $A,B,C$ trên $G$ và $D$ trên $G'$ sao cho các đường cao của một tứ diện $ABCD$ giao tại một điểm. Hãy xác định quỹ tích của điểm giao.

Tồn tại hay không các đa thức $p(x),q(x)$ và $r(x)$ với các hệ số là các số nguyên dương thỏa mãn điều kiện
$$p(x)=(x^2-3x+3)q(x)\quad\text{và}\quad q(x)=\left(\frac{x^2}{20}-\frac{x}{15}+\frac1{12}\right)r(x)?$$