Ngân hàng câu hỏi VMO 1981

Chứng minh rằng một tam giác là vuông khi và chỉ khi tổng của sin ba góc bằng tổng của côsin ba góc đó cộng với $1$.

Cho hai đa thức $f(p)=p^{12}-p^{11}+3p^{10}-11p^3-p^2+23p+30$ và $g(p)=p^3+2p+m$. Hãy xác định giá trị nguyên của $m$ để tồn tại một đa thức $h(p)$ mà $f(p)=g(p)h(p)$ với mọi giá trị thực của $p$.

Cho hai điểm $M$ và $N$ ở ngoài một mặt phẳng $R$. Hãy xác định vị trí của điểm $A$ trên $R$ sao cho tỉ số $AM/AN$ là cực tiểu.

Giải hệ phương trình
$$\begin{cases}x^2+y^2+z^2+t^2=50,\\x^2-y^2+z^2-t^2=-24,\\xz=yt,\\x-y+z+t=0.\end{cases}$$

Cho $n$ số thực $t_1,\ldots,t_n$, sao cho $t_k\in[p,q]$ với $k=1,\ldots,n$ (ở đó $0\lt p\le q$ là các số cho trước). Biết rằng
$$A=\frac1n(t_1+\cdots+t_n),\qquad B=\frac1n(t_1^2+\cdots+t_n^2).$$
Hãy chứng minh rằng $\dfrac{A^2}{B}\ge\dfrac{4pq}{(p+q)^2}$. Hãy xác định điều kiện cần và đủ để có đẳng thức.

Cho hai đường tròn có tâm $O_1,O_2$ bán kính khác nhau, tiếp xúc ngoài tại $A$ và một điểm $M$ trong đường tròn tâm $O_2$ không nằm trên đường thẳng $O_1O_2$. Tìm một đường thẳng $d$ đi qua $M$ sao cho đường tròn $ABC$ tiếp xúc với đường thẳng $O_1O_2$. $B$ là một giao điểm nào đó của $d$ với đường tròn tâm $O_1$ và $C$ là một giao điểm nào đó của $d$ với đường tròn tâm $O_2$.