Cho tam giác $ABC$ có $H$ là trực tâm. Đường phân giác ngoài của góc $BHC$ cắt các cạnh $AB$, $AC$ lần lượt tại $D$ và $E$. Đường phân giác trong của góc $BAC$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADE$ tại điểm $K$. Chứng minh rằng đường thẳng $HK$ đi qua trung điểm của $BC$.
Hãy tìm tất cả các cặp số tự nhiên $(n;k)$ với $n$ là số nguyên không âm và $k$ là số nguyên lớn hơn $1$ sao cho số
$$A=17^{2006n}+4\cdot17^{2n}+7\cdot19^{5n}$$
có thể phân tích được thành tích của $k$ số nguyên dương liên tiếp.
Trong không gian cho $2006$ điểm mà trong đó không có $4$ điểm nào đồng phẳng. Người ta nối tất cả các điểm đó lại bởi các đoạn thẳng. Số tự nhiên $m$ gọi là số tốt nếu ta có thể gán cho mỗi đoạn thẳng trong các đoạn thẳng đã nối bởi một số tự nhiên không vượt quá $m$ sao cho mỗi tam giác tạo bởi ba điểm bất kì trong số các điểm đó đều có hai cạnh được gán bởi hai số bằng nhau và cạnh còn lại gán bởi số lớn hơn hai số đó. Tìm số tốt có giá trị nhỏ nhất.
Chứng minh rằng với mọi số thực $x,y,z\in[1;2]$, ta luôn có bất đẳng thức sau:
$$(x+y+z)\left(\frac1x+\frac1y+\frac1z\right)\ge6\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\right).$$
Hỏi đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi nào?
Cho tam giác $ABC$ là tam giác nhọn, không cân, nội tiếp trong đường tròn tâm $O$ bán kính $R$. Một đường thẳng $d$ thay đổi sao cho $d$ luôn vuông góc với $OA$ và luôn cắt các tia $AB$, $AC$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là giao điểm của đường thẳng $d$ và các tia $AB$, $AC$. Giả sử các đường thẳng $BN$ và $CN$ cắt nhau tại $K$; giả sử đường thẳng $AK$ cắt đường thẳng $BC$.
1. Gọi $P$ là giao của đường thẳng $AK$ và đường thẳng $BC$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp của tam giác $MNP$ luôn đi qua một điểm cố định khi $d$ thay đổi.
2. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $AMN$. Đặt $BC=a$ và $l$ là khoảng cách từ điểm $A$ đến $HK$. Chứng minh rằng đường thẳng $HK$ luôn đi qua trực tâm của tam giác $ABC$. Từ đó suy ra: $l\le\sqrt{4R^2-a^2}$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi nào?
Cho dãy số thực $(a_n)$ được xác định bởi:
$$a_0=1,\qquad a_{n+1}=\frac12\left(a_n+\frac1{3a_n}\right).$$
với mọi $n=1,2,3,\ldots$.
Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n$, số
$$A_n=\frac3{3a_n^2-1}$$
là một số chính phương và nó có ít nhất $n$ ước nguyên tố phân biệt.
Cho tứ giác lồi $ABCD$. Xét một điểm $M$ di động trên đường thẳng $AB$ sao cho $M$ không trùng với $A$ và $B$. Gọi $N$ là giao điểm thứ hai khác $M$ của đường tròn $(MAC)$ và đường tròn $(MBD)$. Chứng minh rằng:
1) Điểm $N$ di động trên một đường tròn cố định;
2) Đường thẳng $MN$ luôn đi qua một điểm cố định.
$((XYZ)$ kí hiệu đường tròn đi qua ba điểm $X,Y,Z)$.
Cho $m,n$ là các số nguyên lớn hơn $3$, và bảng ô vuông kích thước $m\times n$ (bảng gồm $m$ hàng và $n$ cột).
Cho phép đặt bi vào các ô vuông con của bảng theo cách sau: Mỗi lần, đặt $4$ viên bi vào $4$ ô vuông con (mỗi ô $1$ viên) mà $4$ ô đó tạo thành một trong các hình dưới đây.
Hỏi bằng cách trên, ta có thể đặt bi vào các ô vuông con của bảng sao cho số bi trong mỗi ô vuông con đều bằng nhau hay không, nếu:
1) $m=2004,n=2006$;
2) $m=2005,n=2006$?
Cho hàm số $f(x)=-x+\sqrt{(a+x)(b+x)}$, trong đó $a,b$ là hai số thực dương khác nhau cho trước.
Chứng minh rằng với mỗi số thực $s$ thuộc khoảng $(0;1)$ đều tồn tại duy nhất số thực dương $\alpha$ sao cho
$$f(\alpha)=\left(\frac{a^s+b^s}{2}\right)^{1/s}.$$
Xét tập hợp số $S$ có $2006$ phần tử. Ta gọi một tập con $T$ của $S$ là tập con “bướng bỉnh” nếu với hai số $u,v$ tùy ý (có thể $u=v$) thuộc $T$ luôn có $u+v$ không thuộc $T$. Chứng minh rằng:
1) Nếu $S$ là tập hợp gồm $2006$ số nguyên dương đầu tiên thì mỗi tập con “bướng bỉnh” của $S$ đều có không quá $1003$ phần tử.
2) Nếu $S$ là tập hợp gồm $2006$ số nguyên dương tùy ý thì tồn tại một tập con “bướng bỉnh” của $S$ có $669$ phần tử.
Cho hình thang cân $ABCD$ có $CD$ là đáy lớn. Một điểm $M$ di động trên đường thẳng $CD$ sao cho $M$ không trùng với $C$ và với $D$. Gọi $N$ là giao điểm thứ hai khác $M$ của đường tròn $(BCM)$ và đường tròn $(DAM)$. Chứng minh rằng:
1. Điểm $N$ di động trên một đường tròn cố định.
2. Đường thẳng $MN$ luôn đi qua một điểm cố định.
$(XYZ)$ kí hiệu đường tròn đi qua ba điểm $X,Y,Z$.
Một đơn vị kiểm lâm muốn lập lịch đi tuần tra rừng cho cả năm 2006 với các yêu cầu sau:
(i) Số ngày đi tuần tra trong năm nhiều hơn một nửa tổng số ngày của năm.
(ii) Không có hai ngày đi tuần tra nào cách nhau đúng một tuần lễ.
1. Chứng minh rằng có thể lập được lịch đi tuần tra rừng thỏa mãn các yêu cầu nêu trên, biết rằng năm 2006 có $365$ ngày.
2. Hỏi có thể lập được tất cả bao nhiêu lịch đi tuần tra rừng như vậy?
Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ và có $BC\gt AB\gt AC$. Đường thẳng $OA$ cắt đường thẳng $BC$ tại điểm $A_1$; đường thẳng $OB$ cắt đường thẳng $CA$ tại $B_2$. Gọi $B_1,C_1,C_2$ và $A_2$ tương ứng là tâm các đường tròn $(AA_1B),(AA_1C),(BB_2C)$ và $(BB_2A)$. Chứng minh rằng:
1. Tam giác $A_1B_1C_1$ đồng dạng với tam giác $A_2B_2C_2$.
2. Tam giác $A_1B_1C_1$ bằng tam giác $A_2B_2C_2$ khi và chỉ khi góc $C$ của tam giác $ABC$ bằng $60^\circ$.
$(XYZ)$ kí hiệu đường tròn đi qua ba điểm $X,Y,Z$.
Hãy tìm tất cả các hàm số $f(x)$ xác định, liên tục trên tập số thực $\mathbb R$, lấy giá trị trong $\mathbb R$ và thỏa mãn điều kiện
$$f(x-y)f(y-z)f(z-x)+8=0$$
với mọi $x,y,z$ thuộc $\mathbb R$.
Hãy tìm số thực $k$ lớn nhất sao cho với mọi số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện $abc=1$, ta luôn có bất đẳng thức
$$\frac1{a^2}+\frac1{b^2}+\frac1{c^2}+3k\ge(k+1)(a+b+c).$$
