Trong mặt phẳng, cho đa giác lồi $M_0M_1\cdots M_{2n}$, $n\ge1$, có các đỉnh nằm theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ trên đường tròn $(C)$ bán kính $R$. Điểm $A$ ở trong đa giác thỏa mãn
$$\angle M_0AM_1=\angle M_1AM_2=\cdots=\angle M_{2n}AM_0=\frac{360^\circ}{2n+1}.$$
Giả sử $A$ không trùng tâm. Lấy $B$ trên đường tròn sao cho $AB$ vuông góc với đường kính đi qua $A$. Chứng minh
$$\frac{2n+1}{\frac1{AM_0}+\frac1{AM_1}+\cdots+\frac1{AM_{2n}}}\lt AB\lt\frac{AM_0+AM_1+\cdots+AM_{2n}}{2n+1}\lt R.$$
Nguồn gọi cùng đường tròn này là $(O)$ ở câu định nghĩa $B$; ở đây thống nhất dùng $(C)$ và gọi tâm là $O$. Hai cách chọn $B$ đều cho cùng độ dài.
Nguồn được cung cấp không ghi điểm từng bài. Mỗi bài dùng 1 điểm biên tập để tương thích khi nhập; đây không phải thang điểm chính thức. Ngày in trên nguồn là 16–17/5/1990; việc nhóm bài 1–3 và 4–6 theo hai buổi là suy luận biên tập. Hệ số chấm của bộ nhập: đúng 1, sai 0, bỏ trống 0.
Cho các số thực dương $a,b,A,B$. Dãy số được xác định bởi $x_1=a$, $x_2=b$ và
$$x_{n+1}=A\sqrt[3]{x_n^2}+B\sqrt[3]{x_{n-1}^2}\qquad(n=2,3,4,\ldots).$$
Chứng minh tồn tại $\lim_{n\to\infty}x_n$ và tính giới hạn đó.
Tập hữu hạn $T$ gồm các số nguyên dương thỏa mãn:
1. Với hai phần tử bất kỳ của $T$, ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của chúng cũng thuộc $T$.
2. Với mỗi $x\in T$, có $x'\in T$ sao cho $\gcd(x,x')=1$ và $\operatorname{lcm}(x,x')$ là số lớn nhất của $T$.
Ký hiệu $l(T)$ là số phần tử của $T$. Tìm giá trị lớn nhất của $l(T)$, biết $l(T)\lt1990$.
Cho tứ diện mà mỗi cặp cạnh đối diện đều có tích độ dài bằng $l$. Gọi các góc giữa các cặp cạnh đối diện là $\alpha,\beta,\gamma$ và bán kính đường tròn ngoại tiếp các mặt là $R_1,R_2,R_3,R_4$. Chứng minh
$$\sin^2\alpha+\sin^2\beta+\sin^2\gamma\ge\frac{l}{\sqrt{R_1R_2R_3R_4}}.$$
Có $n\ge3$ học sinh đứng thành vòng tròn và luôn quay mặt vào cô giáo ở tâm. Mỗi lần cô giáo thổi còi, hai học sinh nào đó đứng sát nhau đổi chỗ, còn các em khác đứng yên. Tìm số lần thổi còi nhỏ nhất $M$ để có thể đổi chỗ thích hợp sao cho: hai em bất kỳ lúc đầu đứng cạnh nhau thì cuối cùng vẫn đứng cạnh nhau, nhưng đổi vai trò trái/phải. Cụ thể, nếu lúc đầu em $A$ ở bên tay trái em $B$, thì cuối cùng $A$ ở bên tay phải $B$.
Cho dãy số $\{x_n\}_{n=1}^{+\infty}$ thỏa mãn $|x_1|\lt 1$, được xác định bởi công thức truy hồi sau đây
$$x_{n+1}=\frac{-x_n+\sqrt{3-3x_n^2}}2.$$
(a) Hỏi rằng cần có điều kiện gì đối với $x_1$ để dãy số nói trên gồm toàn số dương?
(b) Dãy số này có tuần hoàn không? Giải thích câu trả lời của bạn.
Cho $2n-1$ số tự nhiên liên tiếp $1,2,3,\ldots,2n-1$. Hãy gạch đi ít nhất $n-1$ số theo quy tắc sau đây:
- Nếu đã gạch số $a$ thì phải gạch số $2a$.
- Nếu đã gạch số $a$ và số $b$ thì phải gạch số $a+b$.
Hỏi rằng cần phải gạch số nào để tổng các số còn lại lớn nhất? Giải thích câu trả lời của bạn.
Người ta muốn cắt một hình tứ diện bằng ba mặt phẳng để được một hình hộp sao cho ba mặt các đỉnh hình hộp nằm trên các mặt của hình tứ diện.
(a) Có thể cắt để thể tích hình hộp bằng $9/10$ thể tích hình tứ diện không? Giải thích.
(b) Hãy xác định một điểm nào đó của ba mặt phẳng cắt để thể tích hình hộp bằng $11/50$ thể tích của hình tứ diện.
Trong một mặt phẳng cho tam giác $ABC$. Hãy xác định quỹ tích các điểm $M$ trong mặt phẳng đó sao cho
$$MA\cdot MA'=MB\cdot MB'=MC\cdot MC',$$
ở đó $A',B',C'$ lần lượt là hình chiếu của điểm $M$ lên các đường thẳng $BC,CA,AB$.
Giả sử rằng $f(x)$ là một đa thức với hệ số thực khác hằng số thỏa mãn điều kiện
$$f(x)f(2x^2)=f(2x^3+x)$$
với mọi $x\in\mathbb R$. Chứng minh rằng đa thức $f$ không có nghiệm thực.
Các em nhỏ ở một lớp học đứng vòng tròn chơi một trò chơi kẹo. Cô giáo cho mỗi em một số chẵn chiếc kẹo (em nào cũng có kẹo và số kẹo mỗi em có được có thể khác nhau). Một em nào đó đưa một nửa số kẹo của mình cho bạn ở ngay bên cạnh bên tay phải mình. Tiếp theo em vừa nhận được kẹo của bạn làm như thế nếu số kẹo mình hiện có là số chẵn, còn nếu là số lẻ thì sẽ nhận được một chiếc kẹo từ cô giáo trước khi chia cho bạn như thế. Các em cứ lần lượt đưa kẹo như thế theo một vòng tròn. Chứng minh rằng sẽ dẫn đến trường hợp là có một em nếu đưa một nửa số kẹo của mình không cho bạn mà cho cô giáo thì tất cả các em có số kẹo bằng nhau.