Cho hàm số liên tục $f:\mathbb R\to(0,+\infty)$ thỏa mãn $\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$.
(a) Chứng minh rằng $f(x)$ đạt giá trị lớn nhất trên $\mathbb R$.
(b) Chứng minh rằng tồn tại hai dãy $(x_n),(y_n)$ với $x_n\lt y_n$ ($n=1,2,\ldots$) sao cho chúng hội tụ cùng một giới hạn và thỏa mãn $f(x_n)=f(y_n)$ với mọi $n$.
Xét dãy số nguyên $(x_n)$ thỏa mãn $0\le x_0\lt x_1\le100$ và
$$x_{n+2}=7x_{n+1}-x_n+280\qquad(n\ge0).$$
(a) Chứng minh rằng nếu $x_0=2$, $x_1=3$ thì với mọi số tự nhiên $n$, tổng các ước nguyên dương của $x_nx_{n+1}+x_{n+1}x_{n+2}+x_{n+2}x_{n+3}+2018$ chia hết cho $24$.
(b) Tìm tất cả các cặp $(x_0,x_1)$ để $x_nx_{n+1}+2019$ là số chính phương với vô số số tự nhiên $n$.
Với mỗi đa thức $f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_mx^m$, đặt $\Gamma(f)=a_0^2+a_1^2+\cdots+a_m^2$. Cho $P(x)=(x+1)(x+2)\cdots(x+2020)$. Chứng minh tồn tại ít nhất $2^{2019}$ đa thức đôi một phân biệt $Q_k(x)$, với các hệ số dương, thỏa mãn $\deg Q_k=2020$ và $\Gamma(Q_k(x)^n)=\Gamma(P(x)^n)$ với mọi số nguyên dương $n$.
Cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H$ và tâm đường tròn nội tiếp $I$. Trên các tia $AB,AC,BC,BA,CA,CB$ lần lượt lấy các điểm $A_1,A_2,B_1,B_2,C_1,C_2$ sao cho
$$AA_1=AA_2=BC,\quad BB_1=BB_2=CA,\quad CC_1=CC_2=AB.$$
Các cặp đường thẳng $(B_1B_2,C_1C_2)$, $(C_1C_2,A_1A_2)$, $(A_1A_2,B_1B_2)$ lần lượt có giao điểm là $A',B',C'$.
(a) Chứng minh rằng diện tích tam giác $A'B'C'$ không vượt quá diện tích tam giác $ABC$.
(b) Gọi $J$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $A'B'C'$. Các đường thẳng $AJ,BJ,CJ$ lần lượt cắt $BC,CA,AB$ tại $R,S,T$ tương ứng. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AST,BTR,CRS$ cùng đi qua một điểm $K$. Chứng minh rằng nếu tam giác $ABC$ không cân thì $IHJK$ là hình bình hành.
Xét đa thức $f(x)=x^2-\alpha x+1$ ($\alpha\in\mathbb R$).
(a) Khi $\alpha=\sqrt{15}/2$, hãy viết $f(x)$ thành thương của hai đa thức với các hệ số không âm.
(b) Tìm tất cả các giá trị của $\alpha$ để $f(x)$ viết được thành thương của hai đa thức với các hệ số không âm.
Cho tam giác nhọn, không cân $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và có trực tâm $H$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC,CA,AB$ và $D,E,F$ lần lượt là chân các đường cao tương ứng với đỉnh $A,B,C$. Gọi $K$ là điểm đối xứng của $H$ qua $BC$. Hai đường thẳng $DE,MP$ cắt nhau tại $X$; hai đường thẳng $DF,MN$ cắt nhau tại $Y$.
(a) Đường thẳng $XY$ cắt cung nhỏ $BC$ của $(O)$ tại $Z$. Chứng minh rằng bốn điểm $K,Z,E,F$ cùng thuộc một đường tròn.
(b) Hai đường thẳng $KE,KF$ lần lượt cắt lại $(O)$ tại các điểm thứ hai $S,T$ (khác $K$). Chứng minh rằng các đường thẳng $BS,CT,XY$ đồng quy.
Có một số mảnh giấy hình vuông có cùng kích thước, mỗi mảnh được chia caro thành $5\times5$ ô vuông ở cả hai mặt. Ta dùng $n$ màu để tô các mảnh giấy sao cho mỗi ô của mỗi mảnh được tô cả hai mặt bởi cùng một màu. Hai mảnh giấy màu được coi là giống nhau nếu có thể xếp chúng chồng khít lên nhau sao cho các cặp ô vuông ở cùng vị trí có cùng màu. Chứng minh rằng ta được không quá
$$\frac18\left(n^{25}+4n^{15}+n^{13}+2n^7\right)$$
mảnh giấy màu đôi một không giống nhau.