Cho hai lớp học, lớp A có $m$ học sinh và lớp B có $n$ học sinh $(m,n\gt 1)$. Học sinh của hai lớp ngồi quanh một bàn tròn và mỗi học sinh X được cô giáo phát kẹo bằng với số bạn ngồi liên tiếp kề bên trái X và cùng lớp với X (nếu X không có những bạn như vậy thì X không có kẹo). Những người có cùng số kẹo được cô giáo phân chia vào cùng một nhóm.
(a) Hỏi số người đông nhất của một nhóm có thể là bao nhiêu?
(b) Nếu không xét nhóm mà học sinh không có kẹo thì số người đông nhất của một nhóm có thể là bao nhiêu?
Nguồn ghi một dòng thời gian 270 phút dùng chung cho hai phần ngày thi. Bản này áp dụng 270 phút cho mỗi buổi, tổng 540 phút; không khẳng định nguồn in tổng thời gian 540 phút hay hai dòng thời gian riêng. Tài liệu nguồn không ghi điểm. Mỗi bài được gán 1 điểm biên tập để tương thích khi nhập; đây không phải thang điểm chính thức.
Xét các hàm số sau đây trên tập số thực khác $0$:
$$P(x)=(x^2-1)^{2023},\qquad Q(x)=(2x+1)^{14},\qquad R(x)=\left(2x+1+\frac2x\right)^{34}.$$
Giả sử ban đầu có một danh sách gồm đúng hai hàm trong các hàm đã cho. Mỗi thao tác được phép cộng, trừ, nhân các hàm trong danh sách đó lại với nhau (hoặc lấy lũy thừa với số mũ nguyên dương một hàm trong đó). Ta cũng có thể cộng, trừ, nhân một hàm với một số thực tùy ý để tạo ra hàm mới và đưa vào danh sách. Quá trình trên có thể thực hiện nhiều lần. Chứng minh rằng từ danh sách ban đầu là hai hàm bất kì trong ba hàm đã cho, ta không thể thu được hàm còn lại.
Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $BE,CF$ của tam giác $ABC$ cắt nhau ở trực tâm $H$ và $M$ là trung điểm $AH$. Gọi $K$ là hình chiếu của $H$ lên $EF$. Đường thẳng không đi qua $A$ và song song với $BC$ cắt cung nhỏ $AB,AC$ lần lượt tại các điểm $P,Q$. Chứng minh rằng tiếp tuyến tại $E$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $CQE$ và tiếp tuyến tại $F$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $BPF$ cắt nhau trên đường thẳng $MK$.
Cho hai số nguyên dương $a,b$ nguyên tố cùng nhau với $b$ lẻ và $a\gt 2$. Xét dãy số $(x_n)$ xác định bởi $x_0=2$, $x_1=a$ và $x_{n+2}=ax_{n+1}+bx_n$ với mọi $n$ nguyên dương. Chứng minh rằng:
(a) Nếu $a$ chẵn thì không tồn tại các số nguyên dương $m,n,p$ để $x_m/(x_nx_p)$ là số nguyên.
(b) Nếu $a$ lẻ thì không tồn tại các số nguyên dương $m,n,p$ sao cho $mnp$ chẵn và $x_m/(x_nx_p)$ là số chính phương.
Cho tứ giác lồi $ABCD$ có $\widehat B\lt \widehat A\lt 90^\circ$. Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ và $S$ là giao điểm của $AD$ với $BC$. Xét $R$ là một điểm thay đổi nằm bên trong tam giác $SAB$ sao cho $\widehat{ASR}=\widehat{BSR}$. Trên các đường thẳng $AR,BR$ lần lượt lấy các điểm $E,F$ sao cho $BE$ và $AF$ cùng song song với $RS$. Giả sử $EF$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $SAB$ tại các điểm $H,K$. Trên đoạn $AB$, lấy các điểm $M,N$ sao cho $\widehat{AHM}=\widehat{BHI}$ và $\widehat{BKN}=\widehat{AKI}$.
(a) Chứng minh rằng tâm $J$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $SMN$ thuộc một đường thẳng cố định.
(b) Trên $BE,AF$ lần lượt lấy các điểm $P,Q$ sao cho $CP$ song song với $SE$ và $DQ$ song song với $SF$. Các đường thẳng $SE,SF$ cắt lại đường tròn $(O)$ theo thứ tự tại $U,V$. Gọi $G$ là giao điểm của $AU$ với $BV$. Chứng minh rằng đường trung tuyến đỉnh $G$ của tam giác $GPQ$ luôn đi qua một điểm cố định.
Cho số nguyên $n\ge3$ và tập hợp $A=\{1,2,\ldots,n\}$. Xác định số $k$ lớn nhất sao cho với mỗi bộ $k$ tập con có $3$ phần tử của $A$, ta luôn tô màu được mỗi phần tử của $A$ bởi một trong hai màu xanh hoặc đỏ (mỗi phần tử một màu) để không có tập con nào trong $k$ tập con trên có ba phần tử cùng màu.
Xét dãy $(a_n)$ thỏa mãn
$$a_1=\frac12,\qquad a_{n+1}=\sqrt[3]{3a_{n+1}-a_n},\qquad0\le a_n\le1\quad(n\ge1).$$
a) Chứng minh rằng dãy $(a_n)$ xác định duy nhất và có giới hạn hữu hạn.
b) Cho dãy $(b_n)$ xác định bởi $b_n=(1+2a_1)(1+2^2a_2)\cdots(1+2^na_n)$ với mọi $n\ge1$. Chứng minh rằng $(b_n)$ có giới hạn hữu hạn.
Cho các số nguyên $a,b,c,\alpha,\beta$ và dãy $(u_n)$ xác định bởi
$$u_1=\alpha,\quad u_2=\beta,\quad u_{n+2}=au_{n+1}+bu_n+c\quad(n\ge1).$$
a) Chứng minh rằng nếu $a=3,b=-2,c=-1$ thì có vô số cặp số nguyên $(\alpha,\beta)$ để $u_{2023}=2^{2022}$.
b) Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $n_0$ sao cho duy nhất một trong hai khẳng định sau đúng:
i) Có vô số số nguyên dương $m$ để $u_{n_0}u_{n_0+1}\cdots u_{n_0+m}$ chia hết cho $7^{2023}$ hoặc $17^{2023}$.
ii) Có vô số số nguyên dương $k$ để $u_{n_0}u_{n_0+1}\cdots u_{n_0+k}-1$ chia hết cho 2023.
Tìm số thực dương $k$ lớn nhất sao cho
$$\frac1{kab+c^2}+\frac1{kbc+a^2}+\frac1{kca+b^2}\ge\frac{k+3}{a^2+b^2+c^2}$$
đúng với mọi bộ ba số thực dương $(a,b,c)$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=2(ab+bc+ca)$.
Cho tứ giác $ABCD$ có $DB=DC$ và nội tiếp một đường tròn. Gọi $M,N$ tương ứng là trung điểm của $AB,AC$ và $J,E,F$ tương ứng là các tiếp điểm của đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác $ABC$ với $BC,CA,AB$. Đường thẳng $MN$ cắt $JE,JF$ lần lượt tại $K,H$; $IJ$ cắt lại đường tròn $(IBC)$ tại $G$ và $DG$ cắt lại $(IBC)$ tại $T$.
a) Chứng minh rằng $JA$ đi qua trung điểm của $HK$ và vuông góc với $IT$.
b) Gọi $R,S$ tương ứng là hình chiếu vuông góc của $D$ trên $AB,AC$. Lấy $P,Q$ lần lượt trên $IF,IE$ sao cho $KP,HQ$ đều vuông góc với $MN$. Chứng minh rằng $MP,NQ,RS$ đồng quy.
Xét các hàm số $f,g:\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa mãn $f(0)=2022$ và
$$f(x+g(y))=xf(y)+(2023-y)f(x)+g(x)\quad(x,y\in\mathbb R).$$
a) Chứng minh rằng $f$ là một toàn ánh và $g$ là một đơn ánh.
b) Tìm tất cả các hàm số $f,g$ thỏa mãn điều kiện bài toán.
Có $n\ge2$ lớp học tổ chức $m\ge1$ tổ ngoại khóa cho học sinh. Lớp nào cũng có học sinh tham gia ít nhất một tổ. Mỗi tổ đều có đúng $a$ lớp có học sinh tham gia. Với hai tổ bất kỳ, có không quá $b$ lớp có học sinh tham gia đồng thời cả hai tổ này.
a) Tìm $m$ khi $n=8,a=4,b=1$.
b) Chứng minh rằng $n\ge20$ khi $m=6,a=10,b=4$.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của $n$ khi $m=20,a=4,b=1$.
Cho tam giác nhọn, không cân $ABC$ có trực tâm $H$ và tâm đường tròn ngoại tiếp $O$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với $BC,CA,AB$ tương ứng tại $M,N,P$. Gọi $\Omega_A$ là đường tròn đi qua $A$, tiếp xúc ngoài với $(I)$ tại $A'$ và cắt lại $AB,AC$ tương ứng tại $A_b,A_c$. Các đường tròn $\Omega_B,\Omega_C$ và các điểm $B',B_a,B_c,C',C_a,C_b$ được xác định tương tự.
a) Chứng minh rằng
$$B_cC_b+C_aA_c+A_bB_a\ge NP+PM+MN.$$
b) Xét trường hợp $A',B',C'$ tương ứng thuộc các đường thẳng $AM,BN,CP$. Gọi $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác có ba cạnh tương ứng thuộc ba đường thẳng $A_bA_c,B_cB_a,C_aC_b$. Chứng minh rằng $OH\parallel IK$.